Конгруэнц-проблема

Всякая ли подгруппа конечного индекса группы G О, где О- кольцо целых элементов поля алгебраич. чисел k,a G- связная линейная алгебраическая k-определенная группа, является конгруэнц-подгруппой?Это — классическая постановка К.-п. Современный вариант К.-п. основывается на понятии конгруэнц-ядра, выражающего меру отклонения от ее положительного решения. А именно, пусть и GO- пополнения группы О- точек GO в топологии, определяемой соответственно всеми подгруппами конечного индекса и конгруэнц-подгруппами группы GO. Тогда существует сюръективный и непрерывный гомоморфизм p :Ядро Кеr p наз. конгруэнц-ядром и обозначается через c(G). Положительное решение К.-п. в классической постановке эквивалентно c(G)=l. К.-п. в современной форме заключается в вычислении конгруэнц-ядра с (G). Для G0=SL(p,Z), где Z — кольцо целых чисел, еще в конце 19 в. было известно, что при n=2 К.-п. решается отрицательно. В 1965 было показано, что при п>2 всякая подгруппа конечного индекса группы SL(n, X )является конгруэнц-подгруппой (см. [1]). Вслед за этим было получено [1] решение К.-п. для G0=SL(n, О), п>2, или Sp(2n, О), n>1, где Sp обозначает симплектическую группу. Для этих групп результат таков: только для вполне мнимого поля к, для к-рого конгруэнц-ядро c(G)изоморфно циклической группе корней из единицы, содержащихся в к. Оказывается, точно такой же результат справедлив для всех односвязных групп Шевалле, кроме SL(2) (см. [3]). Условие односвязности является существенным, ибо из теоремы о сильной аппроксимации следует, что для неодносвязной полупростой группы Gконгрузнц-ядро c(G)бесконечно. Для неполупростой группы Gвсегда c(G) = c(S), где S- максимальная полупростая подгруппа в G; в частности, для разрешимой G всегда c(G)=l. Более общая форма К.-п. получается заменой кольца Она кольцо где V- произвольное конечное множество неэквивалентных нормирований поля к, содержащее все архимедовы нормирования. В этой ситуации конгруэнц-ядро, обозначаемое c(G, V), существенно зависит от V(см. [4], [5]). Лит.:[1] Басе X., Милнор Дж., Серр Ж.-П., "Математика", 1970, т. 14, № 6, с. 64 — 128; 1971, т. 15, № 1, с. 44-60; [2] Серр Ж.-П., "Математика", 1971, т. 15, № 6, с. 12-45; [3] Мatsumоtо Н., "Ann. sci. Ecole norm, super.", 1969, t. 2, № 5 1, p. 1-62; [4] Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 11, М., 1974, с. о-37; [5] Raghunathan M., "Publ. Math. IHES", 1976, № 46, p. 107-61. В. П. Платонов.