Конформная Связность

Дифференциально-геометрическая структура на гладком многообразии М, специальный вид связности на многообразии, когда приклеенное к Мгладкое расслоенное пространство Еимеет своим типовым слоем конформное пространство С п размерности n=dim M. Структурой такого пространства Ек каждой точке присоединяется экземпляр конформного пространства ( С п) х, к-рый отождествляется (с точностью до конформных преобразований, сохраняющих х и все направления в ней) с касательным пространством Т Х (М), дополненным одной бесконечно удаленной точкой. К. с, как связность в таком Е, предусматривает сопоставление каждой гладкой кривой с началом х 0 и каждой ее точке xt конформное отображение так, что удовлетворяется нек-рое условие (см. ниже условие на gt). Пусть пространство СД отнесено к реперу, к-рый состоит из двух точек (вершин) и из нпроходящих через них попарно ортогональных гиперсфер. Такой репер интерпретируется в псевдоевклидовом пространстве 1Rn+2 как класс эквивалентных базисов, удовлетворяющих условиям относительно эквивалентности Пусть Мпокрыто координатными областями и в каждой области фиксировано гладкое поле репера в ( С п) х, у к-рого вершина, определяемая вектором е 0, совпадает с х. Условие на gt следующее: при когда xt перемещается по до х 0, gt должно стремиться к тождественному отображению, причем главная часть его отклонения от последнего должна определяться относительно поля репера в нек-рой окрестности точки х 0 матрицей вида из линейных дифференциальных форм типа Другими словами, образ репера в точке xt при gt должен быть определен векторами где X- касательный вектор к Lв точке х 0 и При преобразовании репера поля в произвольной точке хсогласно формулам сохраняющим условия (1), т. е. при переходе к произ- вольному элементу главного расслоенного пространства П реперов в пространствах ( С п) х, формы (3) заменяются следующими 1-формами на П: образующими также матрицу w' вида (2). 2-формы образуют матрицу такой же структуры, как (2), и выражаются по формулам через формы являющиеся в силу (3) линейными комбинациями от а следовательно и от Для элементов матрицы w' имеют место структурные уравнения К. с. (где для простоты опущены штрихи): Здесь правые части полубазовы, т. е. являются линейными комбинациями только от они составляют систему форм кручения-кривизны К. с. и преобразуются по законам Равенства имеют инвариантный смысл и выделяют К. с. нулевого кручения. Пусть тогда при и для Инвариантные тождества Cik=0 выделяет специальный класс так называемых (по Картану) нормальных К. с. Формы (3), образующие матрицу вида (2), определяют К. с. на Моднозначно: образ репера в точке х t при определяется решением системы при начальных условиях и a(0)=еa, где xi = xi(t)-уравнения кривой в нек-рой координатной окрестности ее точки х 0 с координатами х i(0). Любые 1-формы на П, удовлетворяющие уравнениям (4) с правыми частями, выражающимися через где (i=l, . . ., п)- линейно независимы, определяют в указанном смысле нек-рую К. с. на М. К. с. дают удобный аппарат для исследования конформных отображений римановых пространств. К. с. сводится к Леви-Чивита связности нек-рого риманова пространства, если на Мсуществуют локальные поля реперов, относительно к-рых Для тензора кривизны Rjikl этой связности, определяемого равенством имеет место Обратно, для каждой связности Леви-Чивита риманова пространства существует единственная нормальная К. с, из к-рой она получается указанным способом. При этом Qj=0 п Pij выражается через тензор Риччи Rik=Rjikl и скалярную кривизну формулой Соответствующий тензор Cjikl наз. тензором конформной кривизны связности Леви-Чивита. Два римановых пространства конформно эквивалентны, если их связности Леви-Чивита имеют совпадающие нормальные К. с. В частности, риманово пространство при n>3 конформно евклидово тогда и только тогда, когда для него c jikl=0. Лит.:[1] Сartan E., "Ann. polon. math.", 1923, t. 2, s. 171-221; [2] Картан Э., Пространства аффинной, проективной и конформной связности, пер. с франц., Казань, 1962; [3] Оgiue К., "Kodai Math. Semin. Repts", 1967, v. 19, p. 193-224. Ю. Г. Лумисте.