Конформная Геометрия

Раздел геометрии, в к-ром изучаются свойства фигур, неизменные при конформных преобразованиях. Основным инвариантом К. г. является угол между направлениями. К. г.- это геометрия, определенная в евклидовом пространстве, дополненном одной бесконечно удаленной (несобственной) точкой, с фундаментальной группой точечных преобразований, переводящих сферы в сферы Указанное пространство наз. конформным пространством М п, а фундаментальная группа — группой конформных преобразова н и й. В конформном пространстве плоскость является сферой, проходящей через бесконечно удаленную точку Приведенное определение К. г. справедливо для пространства любого числа измерений; в двумерном случае вместо сфер говорят о кругах (точнее окружностях) При числе измерений преобразования, переводящие сферы в сферы, исчерпывают все преобразования, сохраняющие углы (теорема Лиувилля). При я=2 группа преобразований, сохраняющих углы, шире, однако и здесь название К. г. сохраняется за геометрией с фундаментальной группой точечных преобразований, переводящих круги в круги. Всякое преобразование из фундаментальной группы К. г. состоит из конечного числа движений, подобных преобразований и инверсий. Фундаментальная группа К. г. плоскости М 2 изоморфна нек-рой подгруппе проективной группы, именно подгруппе проективных преобразований трехмерного проективного пространства Р 3, переводящих в себя овальную поверхность 2-го порядка, т. е. группе гиперболич. движений трехмерного пространства. Это позволяет применять для К. г. удобный аналитич. аппарат, к-рый используется в неевклидовых геометриях. Всякая точка Р 3 определяется четырьмя однородными координатами х iили псевдовектором хс этими координатами. Пусть — форма от векторов х, у; К- овальная поверхность 2-го порядка Р 3, задаваемая уравнением -=0, или (xх) = 0. Для точек вне К(xx)>0, внутри — ( хx).<0. С помощью абсолюта Косуществляется стереографическая проекция точек абсолюта и точек вне абсолюта на конформную плоскость. Координаты х,-, точек Р 3 наз. тетрациклическими координатами точек и кругов на плоскости М 2. Так как при стереографич. проекции точки на абсолюте переходят в точки на плоскости, а точки вне абсолюта — в круги на плоскости, то группе гиперболнч. движений в Р 3 с абсолютом Кбудет соответствовать группа преобразований на плоскости, при к-рых точки переходят в точки, а круги — в круги, т. е. фундаментальная группа К. г. плоскости. Аналитически эта группа задается формулами где M( х i )и М*( х*i)- точки до и после преобразований, причем форма отличается от формы только множителем. Если ввести то условия сохранения квадратичной формы запишутся в виде при При конформных преобразованиях несобственная точка может переходить в любую другую точку, поэтому круг может перейти в прямую, и обратно. Если потребовать, чтобы несобственная точка переходила в себя, т. е. чтобы прямые переходили в прямые, то подгруппа таких преобразований представляет группу подобных преобразований ( гомотетия и евклидово движение). В Р 3 подгруппе подобия соответствует подгруппа гтшерболпч. движений, оставляющих неподвижной нек-рую фиксированную точку абсолюта. Другим важным классом конформных преобразований является инверсия. В Р 3 инверсии соответствует полярная гомология, т. е. такое гиперболич. движение, при к-ром каждая пара соответствующих точек Ми М* лежит на прямой, проходящей через нек-рую фиксированную точку Свне абсолюта, и удовлетворяется условие: двойное отношение D(М, М*, С, N)=-1. где N- точка пересечения указанной прямой с плоскостью, полярной точке Сотносительно абсолюта. Также как всякое гнперболпч. движение можно получить с помощью конечного числа полярных гомологии, так и любое конформное преобразование можно получить с помощью конечного числа инверсий. Основным инвариантом К. г. на плоскости является угол j между двумя кругами. Он выражается по-формуле где x и у.- векторы, соответствующие двум кругам с тетрациклич. координатами х i и yi,-, В гиперболич. геометрии Р 3 угол между кругами на плоскости равен неевклидову расстоянию между точками в пространстве, соответствующими кругам. Инвариантность угла следует из инвариантности расстояния. Условие ортогональности Двух Кругов (xy)=0, условие касания (xx)(yy)-(xy)2 = 0. Если один из кругов обращается в точку: (xx)=0, то получается условие инцидентности точки и круга (xy) — 0. Простейшим образом в М 2 является пучок кругов. Он задается уравнением t=ap+bq, где р и q- фиксированные круги пучка. В зависимости от знака D=( рр)(qq)-(pq)2 пучки бывают: а) эллиптические (D>0), б) гиперболические (D <0), в) параболические (D=0) (см. рис. 1). В Р 3 пучкам кругов соответствуют прямые. Эллиптическому пучку — прямая, не пересекающая абсолют, гиперболическому — прямая, пересекающая абсолют, параболическому — прямая, касающаяся абсолюта. Так как у всякой прямой Р 3 есть сопряженная ей, то н у всякого пучка в М 2 имеется сопряженный пучок. Преобразования фундаментальной группы К. г. плоскости это — преобразования, задаваемые дробно-линейной функцией комплексного переменного. В К. г. трехмерного пространства М 3 основными образами являются точки н сферы. Задаются они пентасферическими координатами xi, или псевдовектором x. пятимерного пространства. Угол между сферами определяется по той же формуле, что и угол между кругами на плоскости. Простейшие образы в М 3:пучки сфер w=ay+bz, двупараметрич. связки w=ax+by+gzи трехпараметрич. связки w=ax+by+gz+dt сфер. Круг в М 3 задается с помощью эллиптич. пучка сфер, т. е. формулой при дополнительном условии Угол q между кругом, заданным с помощью сфер x1, x2 и сферой у, определяется по формуле где Aab — алгебраич. дополнения элементов определителя, составленного из А ab=xaxb;.a, b=1, 2. Пара кругов имеет два абсолютных инварианта где Для каждой пары кругов из составляющих их пучков можно выделить главные сферы. Это сферы, к-рые удовлетворяют условиям A12==0, S12-S21=0. Через эти сферы сами пучки задаются в виде где j(j1) — угол между сферой и сферой Углы q1 и q2, под к-рыми пересекаются главные сферы , первого круга со вторым кругом, наз. главными углами пары кругов (они совпадают с углами, под к-рыми главные сферы второго круга пересекаются с первым кругом). Через главные углы инварианты пары кругов выражаются следующим образом: Главные углы q1 и q2 определяют экстремальные значения углов, к-рые сферы одного круга образуют с другим. Если q1=q2, то для всех сфер пары q=q1=q2, п такая пара кругов наз. изогональной. С помощью инвариантов пары кругов можно охарактеризовать взаимное расположение двух кругов: а) зацепленные (i — 2h+k>0), б) изолированные (1-2h+k<0), в) пересекающиеся (1-2h+k=0), и условие линейной независимости сфер xi;и xi (см. рис. 2). Необходимое и достаточное условие изогональности пары кругов h2-k=0. Использование в К. г. методов математич. анализа привело к созданию конформно-дифференциальной геометрии. На основе К. г. построена геометрия пространства конформной связности, относящаяся к К. г. как риманова геометрия к евклидовой. Для К. г. на плоскости употребительны также названия геометрия обратных радиусов, круговая геометри я, инверсионная геометрия, а также геометрия Мёбиуса (по имени А. Мёбиуса, A. Mobius), впервые изучавшего геометрию круговых преобразований. Лит.:[1] Клейн Ф., Высшая геометрия, пер. с нем., М.- Л., 1939; [2] Blaschke W., Vorlesungen uber Differential-Geometrie, Bd 3, В., 1929; [3] Бушманова Г. В., Норден А. II., Элементы конформной геометрии, Казань, 1972. Г. В. Бушманова.