Конечных Разностей Исчисление

Раздел математики, в к-ром изучаются функции при дискретном изменении аргумента, в отличие от дифференциального и интегрального исчислений, где аргумент изменяется непрерывно. Пусть функция y=f(x)задана в точках xk=x0+kh(h — постоянная, к- целое). Тогда — (конечные) разности первого порядка,- разности второго порядка, ... ,- разности n-го порядка. Разности удобно располагать в таблицу: Разность n-го порядка через величины у 0, у1,... выражается формулой: Наряду с разностями вперед Dyk употребляются разности назад: В ряде вопросов (в частности, при построении интерполяционных формул) используют центральные разности: к-рые определяются следующим образом: Между центральными dnyl. и обычными разностями Dnyk имеется связь В случае, когда промежутки х k+1- х k не постоянны, рассматривают так наз. разделенные разности: Имеет место формула Иногда вместо [ х 0; х 1;... ; х п] употребляется обозначение f(x0; х 1; ...; х п). Если xn=x0+nh, n=0, 1, 2, ... , то Если функция f(x)в интервале xk<х<xk+n имеет n-ю производную fn (х), то К. р. и. тесно связано с общей теорией приближения функций, используется в приближенном дифференцировании и интегрировании, в приближенном решении дифференциальных уравнений и других вопросах. Пусть поставлена задача (интерполяционная задача) о восстановлении функции f(x), если известны значения f(x)в точках х 0, х 1, . .., х п. Строится многочлен Р(х)степени п, к-рый в указанных точках принимает те же значения, что и f(x). Его можно записать в различных формах — в форме Лагранжа, в форме Ньютона и т. д. В форме Ньютона интерполяционный многочлен имеет вид: а в случае равноотстоящих значений независимого переменного: Функцию f(х)принимают приближенно равной Р . На этом основании решению f{x )уравнения (10) приводится в соответствие ряд В случае, когда уравнение (9) имеет вид (т. е. f(x)- периодическая функция с периодом 2p); L(l) = е 2pl-1; корни уравнения L(l)=0 суть mi;( т=0, 1, . . .) и ряд (11) есть ряд Фурье для функции f(x), записанный в комплексной форме. Ряд (11) можно рассматривать как обобщение на случай разностного уравнения (9) обычного ряда Фурье, соответствующего простейшему разностному уравнению (12). При определенных условиях ряд (11) сходится к решению f(x). Если f(x)- аналитическая функция, то уравнение (9) представимо в виде бесконечного порядка уравнения Аналогично разностям функций одного переменного вводятся разности функций многих переменных. Так, напр., пусть требуется решить задачу численного решения уравнения Лапласа в прямоугольнике при заданных значениях и( х, у )на границе прямоугольника. Прямоугольник разбивается на мелкие прямоугольные ячейки со сторонами Dx=a/N, Dy=b/M. В вершинах этих ячеек ищутся значения решения. В вершинах, к-рые лежат на границе исходного прямоугольника, значения и( х, у )известны. Принимая приближенно (в числителях стоят разности второго порядка) вместо уравнения Лапласа получают систему уравнений Точка ( х, у )пробегает те вершины ячеек, к-рые расположены внутри основного прямоугольника. Тем самым строится система (N-1)( М-1) уравнений, содержащая то же число неизвестных. Решая эту алгебраич. систему уравнений, получают значения и( х, у )в вершинах ячеек. Когда D х и D у малы, а решение задачи имеет определенную гладкость, найденные значения близки к точным значениям. К. р. и. развивалось параллельно с развитием основных разделов математич. анализа. Начала К. р. п. содержатся в трудах П. Ферма (P. Fermat), И. Барроу (I. Barrow), Г. Лейбница (G. Leibniz). В 18 в. К. р. и. приобрело характер самостоятельной математич. дисциплины. Первое систематич. изложение К. р. и. было дано Б. Тейлором (В. Taylor) в 1715. Труды математиков 19 в. подготовили почву для современных глав К. р. п. Идеи и методы К. р. и. получили, существенное развитие в применении аналитич. функциям комплексного переменного и задачам вычислительной математики. Лит.:[1] Марков Д. А., Исчисление конечных разностей, 2 изд.. Од., 1910; [2] Березин И. С, Жидков Н. П., Методы вычислений, т. 1-2, 3 изд., М., 1966; [3] Гельфонд А. О., Исчисление конечных разностей, 3 изд., М., 1967; [4] Бахвалов Н. С, Численные методы, 2 изд., М., 1975. А. Ф. Леонтьев.