Конечная Групповая Схема

Групповая схема, конечная и плоская над базисной схемой. Если G — К. г. с. над схемой то где — конечный плоский квазикогерентный пучок алгебр над В дальнейшем предполагается, что Sлокально нётерова. В этом случае пучок является локально свободным. Если Sсвязна, то ранг алгебры над полем вычетов k(s)точки не зависит от sи наз. рангом К. г. с. Пусть п G:морфизм S-схем, отображающий элемент в элемент для любой S-схемы Т. Морфизм п 0 является нулевым, если ранг Gделит n и S — приведенная схема или G- коммутативная К. г. с. (см. Коммутативная групповая схема). К. г. с. ранга р, где р- простое число, коммутативна [2]. Если G- подгруппа коммутативной К. г. с. G, то определяется К. г. с. G/G', причем ранг схемы G равен произведению рангов схем G' и G/G'. Примеры. 1) Пусть G — GmS — мультипликативная групповая схема (соответственно абелева схема Aнад S);тогда Кеr гад является К. г. с. ранга | п| (соответственно | п|2dimA). 2) Пусть S- схема над простым полем F р и F:- гомоморфизм Фробениуса аддитивной групповой схемы GaS. Тогда Кег Fявляется К. г. с. ранга р:3) Для любой конечной абстрактной группы Г порядка ппостоянная групповая схема Г S является К. г. с. ранга п. Классификация К. г. с. над произвольными базами проведена только для случая, когда ранг схемы Gесть простое число [2]. Хорошо изучен случай, когда G — коммутативная К. г. с, a S- спектр поля характеристики р(см. [1], [3], [7]). Лит.:[1] Манин Ю. Н., "Успехи матем. наук", 1963, т. 18, в. 6, с. 3-90; [2] Тэйт Дж., Оорт Ф., "Математика", 1973, т. 16, №1, с. 165-83; [3] Demazure M., Gabriel Р., Groupes algebriques, t. 1, P.- Amst., 1970; [4] Ооrt F., Commutative group schemes, В.- Hdlb.- N. Y., 1966; [5] Shatz S., "Ann. Math.", 1964, v. 79, p. 411-49; [6] Мazur В., "Ann. sci. Ecole norm, super.", 1973, t. 6, p. 521-52; [7] Кraft H., Kommutative algebraische Gruppen und Ringe, B.- Hdlb.- N. Y., 1975. И. В. Долгачев.