Комплексификация Алгебры Ли

Над R — комплексная алгебра Ли являющаяся тен зорным произведением алгебры на поле комплексных чисел С над полем действительных чисел R: Таким образом, К. а. Ли получается из расширением поля скаляров с R до С. Элементами алгебры можно считать пары (u, v), и,тогда операции в будут определяться формулами: Алгебра наз. также комплексной оболочкой алгебры Ли Нек-рые важные свойства алгебр наследуются при комплексификации: нильпотентна, разрешима или полупроста тогда и только тогда, когда обладает этим свойством. Однако простота не влечет, вообще говоря, простоту Понятие К. а. Ли тесно связано с понятием вещественной формы комплексной алгебры Ли. Вещественная подалгебра Ли f в комплексной алгебре Ли наз. вещественной формой алгебры Ли если всякий элемент однозначно представим в виде x=u+iv, где и, К. а. Ли f естественно изоморфна алгебре I). Не всякая комплексная алгебра Ли имеет вещественную форму. С другой стороны, заданная комплексная алгебра Ли, вообще, может иметь несколько неизоморфных вещественных форм. Так, алгебра Ли всех вещественных матриц порядка пи алгебра Ли всех антиэрмитовых матриц порядка пявляются неизоморфными вещественными формами алгебры Ли всех комплексных матриц порядка п(у к-рой имеются и другие вещественные формы). Лит.:[1] Наймарк М. А., Теория представлений групп, М., 1976; [2] Желобенко Д. П., Компактные группы Ли и их представления, М., 1970; [3] Гантмахер Ф., "Матем. сб.", 1939, т. 5, в. 2, с. 217-50. В. Л. Попов.