Комплекс

Частично упорядоченное рефлексивным, правильным и транзитивным отношением < множество каких-либо элементов t, вместе с целочисленной функцией dim t, называемой размерностью элемента t,[t: t'], называемой коэффициентом инцидентности элементов t u t', которые удовлетворяют условиям: 1) из t' <t следует, что dim i'<dim t,2) [t: t'] =[t': t];3) из следует, что либо t'<t, либо t<t', и |dim t-dim t'| = 1; 4) для любой пары элементов t, t", из К, размерности к-рых отличаются на две единицы, в Кнайдется неболее, чем конечное число таких элементов t', что Заменой [t: t']на a(t)a(t')[t: t'], где a(t) — функция со значениями ±1, получается К., отождествляемый с К;иначе говоря, инциденции [t : t']задаются с точностью до множителя a(t)a(t');переход от одного значения к другому наз. переменой ориентации К. К;элемент tсохраняет или меняет ориентацию, смотря по тому, что или, соответственно, — 1. К. Кназ. конечномерным, а именно — n-мерным, если песть максимальная размерность симплексов из К;. если же в Кне существует симплекса максимальной размерности, то Кназ. бесконечномерным. Звездой элемента tК. Кназ. множество всех таких элементов t' из К, что t'>t. Замыканием элемента t из Кназ. множество всех таких элементов t' из К, что t'<t. Границей элемента t из К наз. множество всех таких элементов t' из К, что t'<t и Элемент t' наз. гранью элемента t из К, если t'<t; грань t' элемента tназ. истинной гранью, если t' неравно t. Элементы tи t' из Кназ. инцидентными, еели t'<t или t<t'. К. К наз. конечным, если множество его элементов конечно. К. наз. звездно конечным, или замкнуто конечным, если звезда (соответственно замыкание каждого его элемента) состоит из конечного числа элементов. К. наз. локально конечным, если он является и звездно конечным, и замкнуто конечным. Подкомплексом К. Кназ. любое подмножестве множества К, являющееся К. при тех же размерностях и коэффициентах инцидентности, что и в К. Подкомплекс наз. замкнутым, если он содержит замыкание каждого своего элемента, и открытым, если он содержит звезду каждого своего элемента. Дополнение замкнутого К. есть открытый К., и наоборот. Звезда каждого элемента любого К. является открытым подкомплексом, а замыкание и граница — замкнутыми подкомплексами, r-мерным остовом К r К. Кназ. множество всех таких элементов tиз К, что он является замкнутым подкомплексом. К. K= и Lназ. изоморфными, если существует такое взаимно однозначное отображение f множества Кна множество L, что dim f(t)=dim t и [t:t']=[f(t) :f(t')]. Важнейшим типом К. является симшшциальный К., к-рый в свою очередь имеет две разновидности: абстрактный К. и геометрический К. Абстрактный симплициальный комплекс К имеет элементами абстрактные симплексы различных размерностей, r-мерный симплекс tr есть множество каких-либо r+1 объектов а 0, а 1, . .., а r. Эти объекты, т. е. О-мерные симплексы, наз. вершинами К. К. Симплекс ориентирован, если множество его вершин упорядочено, причем порядки, отличающиеся друг от друга четной перестановкой, задают одну и ту же ориентацию, s-мерными гранями симплекса tr наз. s-мерные симплексы, вершины к-рых содержатся среди вершин tr. Вместе с данным симплексом симплициальный К. содержит и все его грани. Порядок ts<tr означает, что ts есть грань tr. Грани (а 0, . . ., as )и (as+1, .. ., а r )наз. противоположными гранями симплекса tr. Если tr-x есть грань tr, противоположная вершине а 1, то смотря по тому, ориентирован ли tr так же, как а itr-1, или нет. Если tr-1 не есть грань tr, то Ориентацией каждого симплекса симплициального К. получается ориентированный К. Абстрактный симплициальный К. определен, если известны множество его вершин и система, так наз. схема, всех тех конечных подмножеств этого множества, к-рые приняты за симплексы; при этом требуется, чтобы каждая вершина принадлежала хотя бы одному элементу системы и чтобы с каждым входящим в систему элементом ей принадлежали и все подмножества этого элемента. Размерность, ориентация и т. д. определяются как и выше. Полиэдральный (клеточный) комплекс и-мерного евклидова пространства Е n есть счетный локально конечный К. К, элементами к-рого являются r-мерные клетки tr- ограниченные выпуклые открытые подмножества нек-рого Е r из Е n, причем клетки попарно не пересекаются, объединение клеток, принадлежащих замыканию элемента tr, есть топологич. замыкание tr множества tr в Е r, и топологич. замыкание объединения клеток, не принадлежащих звезде элемента tr, не пересекается с tr. При этом tr<ts означает, что либо tr=ts, либо а [tr-1:tr]. определяется с помощью коэффициента инцидентности [E1r-1 : Er]=[E2r-1: Е r], где Е 1r-1 и Е 2r-1- те две области, на к-рые пространство Е r-1, содержащее tr-1, делит пространство Е r. Объединение клеток полученного таким образом полиэдрального К. Кс индуцированной из Е п топологией, наз. полиэдром и обычно обозначается через | К|. Частным видом полиэдрального К. является евклидов геометрический симплициальный К., элементы к-рого — евклидовы симплексы из Е n. r-мерный евклидов симплекс tr состоит из точек заданных соотношениями где i=0, ..., r — независимые точки из Е п (т. е. не содержащиеся ни в одном Е r-1 из Е п),0<li<1, а i наз. вершинами tr,li — барицентрическими координатами точки х,a tr- геометрическим симплексом, порожденным абстрактным симплексом (а 0, а 1, ..., а r). Пусть К- счетный локально конечный абстрактный симплициальный К., вершины к-рого принадлежат Е n, причем если какие-либо вершины образуют симплекс, то они независимы, если два симплекса из Кне имеют общей вершины, то порожденные ими геометрич. симплексы не пересекаются, и замыкание объединения всех тех геометрич. симплексов, к-рые порождены симплексами из Ки к-рые не принадлежат одному какому-либо из этих порожденных симплексов, не пересекаются с последним. На множество порожденных геометрич. симплексов переносятся из К понятия размерности, порядка, инцидентности, и т. п., это превращает указанное множество в полиэдральный К., наз. евклидовой реализацией К. Геометрич. реализация, не обязательно евклидова, возможна и для любого абстрактного симплициального К. Пусть — совокупность вершин произвольного абстрактного симплициального К. К, обозначенных индексами iиз нек-рого вполне упорядоченного множества I, | К| -множество всех таких систем , неотрицательных действительных чисел li, что вершины, соответствующие отличным от нуля координатам li0, ...,lir системы , образуют симплекс (ai0, . . ., а ir )из К (число таких координат конечно) и Симплексу из Кставится в соответствие множество |tr| всех такиx систем , что тогда и только тогда, когда iесть один из i0, . .., ir;тогда | К| есть объединение множеств |tr|. Пусть |tr| гомеоморфно вложено в Er+1:точке из |tr| соответствует точка из Er+1. Это вносит топологию в |tr| и в | К|:множество из К считается открытым, если его пересечение с каждым |tr| открыто в |tr|. Полиэдр К и наз/ геометрической реализацией К. К, а К — триангуляцией полиэдра | К|. К. Кконечен (соответственно локально конечен) тогда и только тогда, когда | К| является компактным (соответственно локально компактным) пространством. Локальная конечность К. Кявляется также необходимым и достаточным условием метризуемости К, причем метрика задается формулой Если К- счетный локально конечный n-мерный К., то он может быть реализован в (2n+1)-мерном евклидовом пространстве Е 2п+1. К. Креализуем в гильбертовом пространстве, если | К| можно гомеоморфно вложить в это пространство так, чтобы каждый замкнутый симплекс из | К| получал евклидову реализацию; это возможно тогда и только тогда, когда Кесть счетный локально конечный симплициальный К. Конечный геометрический К. есть такое множество открытых геометрич. симплексов, к-рое вместе с нек-рым симплексом содержит и все его грани, а пересечение различных симплексов пусто. При рассмотрении замкнутых симплексов второе условие заменяется требованием, чтобы пересечение двух замкнутых симплексов было пусто или являлось замкнутой гранью обоих этих симплексов. Понятие К. находит наибольшее применение в теории гомологии. Использование симплициальных К. при вычислении топологич. инвариантов полиэдров осложняется тем, что при триангуляции полиэдра может понадобиться слишком много симплексов. В этом отношении преимущество принадлежит клеточному разбиению, при к-ром количество клеток может быть гораздо меньшим, чем количество симплексов при любом симплициальном разбиении этого полиэдра. С другой стороны, и симплициальные комплексы и триангуляции имеют свои преимущества, напр, при симплициальной аппроксимации непрерывного отображения, при составлении и применении матриц инцидентности, при использовании комплексов для гомологич. исследования общих топологич. пространств и т. п. Симплициальным отображением К. Кв К. Lназ. функция ставящая в соответствие каждой вершине а К. Кнек-рую вершину f(a)К. Lтак, что если какие-либо вершины К. Кобразуют в нем симплекс, то и вершины f( а i0), ..., среди к-рых могут быть и совпадающие, должны образовывать симплекс К. L. Функция f каждому симплексу VК. Кприводит в соответствие нек-рый симплекс ts=f(tr )К. L. Симплициальным отображением пары ( К, L )в пару ( К', L'), где L, L'- замкнутые подкомплексы комплексов К, К' соответственно, наз. такое симплициальное отображение что Множество всех симплициальных К. и всех их симплициальных отображений также, как и множество всех пар симплициальных К. и всех их симплициальных отображений, образуют категории. Гомологии К., выражавшиеся сначала числовыми инвариантами, позднее стали представляться алгебраич. средствами — группами, модулями, пучками и т. п. Схема их построения такова. Пусть К- произвольный К., a G — абелева группа; r-мерной цепью (вообще говоря, бесконечной) К. Кнад группой коэффициентов Gназ. функция с r, областью определения к-рой является множество всех r-мерных элементов К. К, а множеством значений — группа G. Совокупность всех r-мерных цепей с r К. К, обозначаемая через С r(K; G )относительно операции сложения образует группу, наз. группой r-мерных цепей К. Кнад G. В предположении, что К- звездно конечный К., в С r(K; G )вводится граничный оператор д r с помощью формулы к-рый определяет гомоморфизм В силу равенства д r_1 дr=0 получается цепной К. ,. группа гомологии Н r(K; G )к-рого, т. е. факторгруппа группы Кеr д r по подгруппе Im д r+1, наз. r-мерной группой гомологии К, Кнад G(группа Кег д r часто обозначается через Zr (К; G )и наз. группой r-мерных циклов К. Кнад G, а группа Im д r + 1 обозначается через В r(K; G )и наз. группой r-мерных ограничивающих циклов К. Кнад G). Наряду с группами гомологии для К. определяются группы когомологии. При их определении исходной является опять же группа цепей, называемая в этом случае группой коцепей и обозначаемая через Cr(K; G). К. Кпредполагается здесь замкнуто конечным, а кограничный оператор dr задается формулой определяющей гомоморфизм Когомологическая группа Hr(K; G )этого коцепного комплекса , dr+1dr=0, т. е. факторгруппа группы Кег б г по подгруппе Im dr-1, наз. r-мерной когомологической группой К. Кнад G(группа Кег dr часто обозначается через Zr(K; G)и наз. группой r-мерных коциклов К. Кнад G, а группа Im dr-1 обозначается через Br(K; G )и наз. группой r-мерных коограни чивающих коциклов К. Кнад G). Звездная (соответственно замкнутая) конечность К. требуется для того, чтобы суммирование при определении граничного (соответственно пограничного) оператора было конечным. В случае звездно конечного К. определяются гомологии произвольных (бесконечных) циклов и когомологии конечных коциклов. В случае замкнуто конечного К.- когомологии бесконечных коциклов и гомологии конечных циклов. В случае локально конечного К. определяются как конечные, так и бесконечные гомологии и когомологии. Если К. произвольный, то его группы гомологии (соответственно когомологии) определяются как пределы прямого (соответственно обратного) спектра групп гомологии (соответственно когомологии) всех локально конечных подкомплексов данного К., упорядоченных по возрастанию. При исследовании гомологии и когомологии К. рассматривается категория пар симшшциальных К. ( К, L )и их симплициальных отображений и группы Cr(K, L; G)r-мерных конечных цепей К. Кпо модулю Lнад G, являющаяся факторгруппой группы Cr(K; G)r-мерных цепей К. Кнад Gпо подгруппе Cr(L; G)r-мерных цепей К. Lнад G. Гомологическая труппа Hr(K, L; G )цепного комплекса наз. r-мерной относительной группой гомологии К. К по модулю Lнад группой коэффициентов G. Снмплициальное отображение f порождает гомоморфизм f1 группы С r (К; G )в группу С r(K'; G )по формуле где а сумма распространяется на все такие симплексы из К, к-рые отображаются на данный симплекс из К', причем знак + или — берется в зависимости от того, совпадают или не совпадают ориентации и Гомоморфизм f1, распространенный на факторгруппы, порождает гомоморфизм группы Cr(K, L;(?) в Cr(K', L', G); последний гомоморфизм коммутирует с граничным оператором д r, так что получается гомоморфизм относительных групп гомологии наз. гомоморфизмом, индуцированным симплициальным отображением f. Пара ( Н r, f*r) является ковариантным функтором из категории пар симплициальных К. и симплициальных отображений в категорию абелевых групп. Отображения включения где Lи К- пары и порождают точную последовательность Пусть zr — произвольный цикл К. Кпо модулю Lиз любого элемента hr группы Hr(K, L; G);существует такая цепь с r К. К, что y(cr) = zr(y — эпиморфизм), цепь y(drcr) = dry(cr) = drzr К. Клежит на L(т. е. равняется нулю на симплексах из и принадлежит Кer y; совпадающая с ней цепь — прообраз при мономорфизме j — является циклом К. L. Данному элементу hr ставится в соответствие класс гомологии соответствующего цикла, и получается гомоморфизм наз. связывающим гомоморфизмом. Он согласован с функтором т. е. имеет место равенство d*rf*r=(f|L)*r д *r, где j|L- ограничение f на L. Отображения вложения порождают точную последовательность групп наз. гомологической последовательностью пары ( К, L). Симплициальные отображения f, g: наз. смежными, если для каждого симплекса tr из Ксимплексы f(tr )и g(tr )являются гранями одного и того же симплекса из К'. В категории пар симплициальных К. и их симплициальных отображений это отношение играет роль отношения гомотопности: для любых смежных симплициальных отображений f, g:и для любого r индуцированные гомоморфизмы f*r, g*r группы Н r(K, L; G )в группу Н r(K', L'; G )совпадают. Вложение i:. наз. отображением вырезания, если К 1-L1= К-L. Свойство вырезания состоит в том, что всякое отображение вырезания симплициальных пар iдля любого гиндуцирует изоморфизм i*r: Н r( К 1, L1; G)Hr(K, L; G).r-мерная группа гомологии любого К. К, состоящего из одной точки над произвольной группой коэффициентов G, является нулевой группой для всех и изоморфна группе Gпри г=0. Таким образом, тройка (Hr, f*r, д *r) представляет собой теорию гомологии в смысле Стинрода — Эйленберга (см. Стинрода- Эйленберга аксиомы). продолжение ... Аналогично строится теория когомологии. Группа С r( К, L; G)r-мерных бесконечных коцепей К. Кпо модулю подкомплекса Lнад Gявляется множеством всех таких r-мерных коцепей с r К. К, к-рые равны нулю на симплексах fподкомплекса LК. К,ar-мерная относительная группа когомологии Hr(K, L; G )К. Кпо модулю Lнад группой коэффициентов Gесть когомологич. группа коцепного комплекса . Симплициальное отображение f порождает гомоморфизм f1 группы С r( К'; G )в группу С(К; G) Гомоморфизм f1 порождает также гомоморфизм группы Cr(K', L'; G )в группу С( К, L; G);последний гомоморфизм коммутирует с кограничным оператором dr, и получается гоморфизм f*r относительных групп когомологии наз. гомоморфизмом, индуцированным симплициальным отображением f. Пара (Hr, f*r )является контравариантным функтором из категории пар симплициальных К. и симплициальных отображений в категорию абелевых групп. Имеет место точная последовательность порожденная вложениями В классе когомологии произвольный коцикл распространяется до коцепи произвольно, когда tr не принадлежит подкомплексу LК. К. Кограница drzr1 получающейся коцепи равна нулю на Lи принадлежит группе Zr+1(K, L; G). Класс когомологии этого коцикла приводится в соответствие выбранному классу hr. Это соответствие определяет гомоморфизм наз. связывающим гомоморфизмом. Гомоморфизм d*r согласован с функтором т. е. имеет место равенство Прямая последовательность групп где и — отображения вложения, является точной последовательностью и наз. когомологической последовательностью пары ( К, L). Для любых смежных симплициальных отображений f, g:и любого rиндуцированные гомоморфизмы f*r, g*r группы Hr(K', L', G )в группу Н Г( К, L; G )совпадают; всякое отображение вырезания симплициальных пар i:(K1, L1 )М(K, L )индуцирует изоморфизм i*r : Hr(K, L; G)Hr(K1, L1; G). Для любого одноточечного К. Кгруппы Hr(K|G)=0. для всех а Таким образом, тройка ( Н r, f*r, d*r). является теорией когомологии (в смысле Стинрода — Эйленберга). Лит.:[1] Александров П. С, Комбинаторная топология, М.- Л., 1947; [2] его же, Введение в гомологическую теорию размерности и общую комбинаторную топологию, М., 1975; [3] Лефшец С, Алгебраическая топология, пер. с англ., М., 1948; [4] Хилтон П.-Д ж., Уайли С, Теория гомологии. Введение в алгебраическую топологию, пер. с англ., 1966; [5] Понтрягин Л. С, Основы комбинаторной топологии, 2 изд., М., 1976. Д. О. Баладзе.