Компакт

Метризуемое бикомпактное пространство. Примеры К.: отрезок, окружность, n-мерные куб, шар, сфера, канторово множество, гильбертов кирпич;"-мерное евклидово пространство не является К., а подмножество такого пространства будет. К. тогда н только тогда, когда оно замкнуто и ограничено. Замкнутое подмножество К. есть К., и всякий К. гомеоморфен замкнутому подмножеству гильбертова кирпича (теорема Урысона). Для существования гомеоморфизма К. в евклидово пространство необходимо и достаточно, чтобы он был конечномерен (теорема Понтрягина — Небелинга). Непрерывный образ К., являющийся T2 -пространством, есть К., и всякий К. есть непрерывный образ канторова множества (теорема Александрова). Произведение конечного или счетного множества К. есть К. Любой К. сепарабелен; среди всех бикомпактов. К. характеризуются тем, что обладают конечной или счетной базой. К. характеризуется также тем, что он вполне ограничен относительно какой-нибудь метрики, совместимой его топологией (теорема Xаус-дорфа). К.- один из важнейших классов топологич. пространств. Свойство метризуемого пространства быть К. равносильно каждому из следующих свойств.1) Из любого счетного открытого покрытия пространства Xможно выделить конечное подпокрытие (аналог леммы Гейне — Бореля — Лебега о покрытии отрезка интервалами).2) Любая счетная система таких замкнутых в Xнепустых множеств Fi, что i=l, 2, ..., имеет непустое пересечение (обобщение принципа вложенных отрезков Кантора).3) Из любой последовательности точек пространства Xможно выделить сходящуюся в Xподпоследовательность (обобщенная теорема Больцано — Вейерштрасса).4) Любое бесконечное подмножество пространства Xимеет в Xхотя бы одну предельную точку (обобщенная теорема Больцано — Вейерштрасса).5) Любая непрерывная на Xфункция ограничена (обобщенная теорема Вейерштрасса).6) Любая непрерывная на Xфункция принимает в нек-рой точке максимальное (минимальное) значение (обобщенная теорема Вейерштрасса).7) Любая непрерывная на Xфункция равномерно непрерывна на Xотносительно какой-либо метрики, совместимой с топологией пространства X(обобщенная теорема Гейне — Кантора). Лит.:[1] Александров П. С, Введение в общую теорию множеств и функций, М.- Л., 1948; [2] Колмогоров А, Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 4 изд., М., 1976, гл. 2. Б. А. Пасынков.