Комбинаторика

Комбинато́рика

1) то же, что математический Комбинаторный анализ. 2) Раздел элементарной математики, связанный с изучением количества комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, которые можно составить из заданного конечного множества объектов (безразлично, какой природы; это могут быть буквы, цифры, какие-либо предметы и т.п.).

Наиболее употребительные формулы К.:

Число размещений. Пусть имеется n различных предметов. Сколькими способами можно выбрать из них т предметов (учитывая порядок, в котором выбираются предметы)? Число способов равно

Anm =

Anm называют числом размещений из n элементов по m.

Число перестановок. Рассмотрим задачу: сколькими способами можно установить порядок следования друг за другом n различных предметов? Число способов равно

Pn = 1․2․ 3... n= n!

(знак n! читается: «n факториал»; оказывается удобным рассматривать также 0!, полагая его равным 1). Pn называют числом перестановок n элементов.

Число сочетаний. Пусть имеется n различных предметов. Сколькими способами можно выбрать из них т предметов (безразлично, в каком порядке выбираются предметы)? Число способов такого выбора равно

Cnm =

Cnm называют числом сочетаний из n элементов по m. Числа Cnm получаются как коэффициенты разложения n-й степени двучлена (бинома, см. Ньютона бином):

(a+b) n=Cn0 an + Cn1an-1b +Cn2an-2b2 +... + Cnn-1abn-1 + Cnn bn,

и поэтому они называются также биномиальными коэффициентами. Основные соотношения для биномиальных коэффициентов:

Cnm=Cnn-m, Cnm + Cnm+1 = Cn+1m+1

Cn0 + Cn1 + Cn2 +...+ Cnn-1 + Cnn =2n,

Cn0 — Cn1 + Cn2 —...+ (—1) nCnn = 0.

Числа Anm, Pm и Cnm связаны соотношением:

Anm=Pm Cnm.

Рассматриваются также размещения с повторением (т. е. всевозможные наборы из m предметов n различных видов, порядок в наборе существен) и сочетания с повторением (то же, но порядок в наборе не существен). Число размещений с повторением даётся формулой nm, число сочетаний с повторением — формулой Cmn+m-1.

Основные правила при решении задач К.: Правило суммы. Пусть некоторый предмет А может быть выбран из совокупности предметов m способами, а другой предмет В можно выбрать n способами. Тогда имеется т + n возможностей выбрать либо предмет A, либо предмет В.

Правило произведения. Пусть предмет А можно выбрать m способами и после каждого такого выбора предмет В можно выбрать n способами; тогда выбор пары (А, В) в указанном порядке можно осуществить m + n способами.

Принцип включения и исключения. Пусть имеется N предметов, которые могут обладать n свойствами α1, α2,..., αn. Обозначим через N (αi, αj,..., αk) число предметов, обладающих свойствами αi, αj,..., αk и, быть может, какими-либо другими свойствами. Тогда число N' предметов, не обладающих ни одним из свойств, α1, α2,..., αn, даётся формулой

= N—N (α1) — N (α2) —... —N (αn) + N (α1, α2) + N (α1, α3) +... + N (αn-1, αn) — N (α1, α2, α3) —... — N (αn-2, αn-1, αn) +... +(—1) n N (α1,..., αn)

Лит.: Netto E. Lehrbuch der Combinatorik, 2 Aufl., Lpz. — B., 1927.

В. Е. Тараканов.