Колмогорова Уравнение

Уравнение вида (обратное, или первое, уравнение; s < t)или вида (прямое, или второе, уравнение; t > s) для переходной функции [f=P(s, х; t, Г), — измеримое пространство] или ее плотности [f=p(s, x; t, Г), если она существует], к уравнению (1) для переходной функции P(s, x; t, Г) присоединяется условие а к уравнению (2) — условие где I Г (х) — индикатор множества Г; в этом случае оператор As- оператор, действующий в пространстве функций, а — в пространстве обобщенных мер. Для марковских процессов со счетным множеством состояний переходная функция полностью определяется вероятностями перехода pij(s, t) = ) (из состояния iв момент s в состояние j в момент t), для к-рой обратное и прямое уравнения Колмогорова имеют (при некоторых дополнительных предположениях) следующий вид: где В случае конечного числа состояний уравнения (3), (4) справедливы, если только предположить существование пределов в (5). Другой важный класс процессов, для к-рых детально изучен вопрос о справедливости уравнений (1) и (2), — это процессы диффузионного типа, определяемые тем, что их переходная функция Р(s, x; t, Г), удовлетворяет следующим условиям: а) для всякого и s>0 равномерно по s,s<t, б) существуют функции a(s, x )и b(s, x )такие, что для всякого хи e>0 равномерно по s,s<t, Тогда, если существует плотность p=p(s, x; t, у), то (при некоторых дополнительных предположениях) справедливо (по t>s и ) прямое уравнение (называемое также уравнением Фоккера — Планка), а обратное уравнение (по s<t и ) имеет следующий вид Лит.:[1] Колмогоров А. Н., "Успехи матем. наук", 1938, в. 5, с. 5-41; [2] Гихман И. И., Скороход А. В., Теория случайных процессов, т. 2, М., 1973. А. Н. Ширяев.