Колмогорова Неравенство

1) К. н. в теории приближений — мультипликативное неравенство между нормами в пространствах LS(J)функций и их производных на действительной оси (или полуоси): I где а С не зависит от х. Впервые такие неравенства изучали Г. Харди (G. Hardy, 1912), Дж. Литлвуд (J. Littlewood, 1912), Э. Ландау (Е. Landau, 1913), Ж. Адамар (J. Hadamard, 1914). А. Н. Колмогоров [1] нашел наименьшую константу Сдля наиболее важного случая и любых k, п. К. н. связаны с задачей наилучшего численного дифференцирования и устойчивого вычисления (неограниченного) оператора Dk k -кратного дифференцирования. Именно, модуль непрерывности оператора Dk на классе выражается формулой w(d)= w(1)8, т. е. имеет место К. н. с константой С=w(1). К. н.- частный случай неравенств, связанных с вложением классов дифференцируемых функций (см. Вложения теоремы). Лит.:[1] Колмогоров А. Н., "Ученые зап. Моск. ун-га, математика", 1939, в. 30, кн. 3, с. 3-16; [2] Стечкин С. Б., "Матем. заметки", 1967, т. 1, в. 2, с. 137-48; [3] Тайков Л. В., "Матем. заметки", 1968, т. 4, в. 2, с. 233- 238; [4] Арестов В. B.,"Acta Sei. Math.", 1972, v. 33, p. 243-67. Ю. Н. Субботин.2) К. н. в теории вероятностей — неравенство для максимума сумм независимых случайных величин — обобщение классического Чебышева неравенства. Пусть Х 1} Х 2,..., Х п, ...- независимые случайные величины с конечными математич. ожиданиями и дисперсиями Тогда для любого е>0 и если величины ограничены (| Х i|<с с вероятностью 1), то К. н. установлено А. Н. Колмогоровым [1]. К. н. замечательно как доказательством — способ рассуждений был новым в теории вероятностей, так и самим результатом — оценка для максимума сумм такова же, что и для последней суммы в неравенстве Чебышева. При доказательстве К. н. существенно используются вытекающие из взаимной независимости Xk свойства условных математич. ожиданий функций от сумм Sk+p при условии, что Х 1, . .., Xk фиксированы. К. н. допускает многочисленные обобщения, из которых можно отметить следующие:1) К. н. остается справедливым, если условие взаимной независимости величин Х п заменить условием, что есть абсолютно беспристрастная последовательность, т. е. что последовательность сумм Sn= образует мартингал.2) Если -выпуклая монотонная функция, Еg(|Sn|)<беск., то3) Если Х k, k=1,. . ., п, симметричны относительно начала координат, то см. Леей неравенство.4) Для произвольных независимых случайных величин Х 1, Х 2,. . ., Х n, ... если только числа d>0 и 0<р<1 выбраны так, что при всех т, Во всех вариантах К. н. можно увидеть следующее свойство сумм независимых величин — "размах" максимальной суммы имеет тот же порядок, что и "размах" последней суммы. Как неравенство Чебышева применяется при выводе больших чисел закона, так и К. н. применяется при доказательстве больших чисел усиленного закона (критерий Колмогорова сходимости Sn/n->Q почти всюду). На использовании К. н. основано доказательство теорем о сходимости рядов из случайных величин. Лит.:[1] Колмогоров А. Н., "Math. Ann.", 1928, Bd 99, S. 309 — 19; 1929, Bd 102, S. 484-88; [2] eго же. Основные понятия теории вероятностей, 2 изд., М., 1974; [3] Лоэв М., Теория вероятностей, пер. с англ., М., 1962. А. В. Прохоров.