Колмогорова Критерий

Статистический критерий, применяемый для проверки простой непараметрической гипотезы Н 0, согласно к-рой независимые одинаково распределенные случайные величины Х 1,..., Х п имеют заданную непрерывную функцию распределения F(x), причем альтернативная гипотеза Н 1 предполагается двусторонней: где — математическое ожидание функции эмпирического распределения Fn(x). Критическое множество К. к. выражается неравенством и основано на теореме, доказанной А. Н. Колмогоровым в 1933: в случае справедливости гипотезы Н 0 распределение статистики Dn не зависит от функции F(x), причем если то где В 1948 Н. В. Смирнов [4] табулировал функцию распределения Колмогорова К(l). Согласно К. к. с уровнем значимости a, 0<a<0,5, гипотезу Н 0 следует отвергнуть, если где ln(a) — критическое значение К. к., соответствующее заданному уровню значимости а и являющееся корнем уравнения Для определения ln(a) рекомендуется пользоваться аппроксимацией допредельного закона статистики Колмогорова Dn ее предельным распределением; см. [3], где показано, что если и то Применение аппроксимации (*) дает следующее приближение критического значения где z — корень уравнения На практике для вычисления значения статистики Dn пользуются тем обстоятельством, что где — вариационный ряд, построенный по выборке X1, ... ,Х п. К. к. имеет следующее геометрич. истолкование (см. рис.). Изобразим на плоскости хОу графики функций Fn(x), Заштрихованная область является доверительной зоной уровня 1-a. для функции распределения F(x), так как если гипотеза Н 0 верна, то согласно теореме Колмогорова Если график функции F(x)не выходит из заштрихованной области, то по К. к. с уровнем значимости а гипотезу H0 следует принять, в противном случае гипотеза H0 отвергается. К. к. дал мощный толчок развитию математич. статистики, в результате чего были получены совершенно новые методы статистич. исследований, к-рые легли в основу непараметрич. статистики. Лит.:[1] Колмогоров А. Н., "Giorn. Istit. Ital. Attuari" 1933, v. 4, p. 83-91; [2] Смирнов Н. В., "Бюлл. МГУ", секц. А, 1939, т. 2, в. 2, с. 3-14; [3] Большев Л. Н., "Теория вероятн. и ее примен.", 1963, т. 8, с. 129-55; [4] Большей Л. Н., Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, 2 изд., М., 1968. М. С. Никулин.