Кольцевая Граница

Подмножество Г пространства MA максимальных идеалов коммутативной банаховой алгебры А с единицей над полем С комплексных чисел, на к-ром модули Гелъфанда представлений а всех элементов достигают максимума. Напр., можно положить Г=М A (тривиальная граница). Интерес представляют нетривиальные границы с тем или иным свойством минимальности. Среди замкнутых границ существует минимальная дМ A- такая замкнутая граница, что для каждой замкнутой границы Г; она наз. границей Шилова. Точки границы Шилова характеризуются тем, что для каждой окрестности такой точки xи каждого е>0 существует элемент для к-рого max|а| = 1 и вне V. Точки составляют "наиболее устойчивую" часть множества М A максимальных идеалов: если В- коммутативное банахово расширение алгебры А, то максимальные идеалы (мультипликативные функционалы), отвечающие таким точкам, расширяются до максимальных идеалов (мультипликативных функционалов) алгебры В, тогда как за пределами дМ A такое расширение, вообще говоря, невозможно. Это обстоятельство аналогично устойчивости границы спектра ограниченного линейного оператора банахова пространства. Типичный пример: алгебра Асостоит из непрерывных функций в диске аналитических при |l|<1. В этом случае М A отождествляется с замкнутым диском, а дМ A- с его топологич. границей; максимальные идеалы, отвечающие внутренним точкам диска, не продолжаются до максимальных идеалов алгебры всех непрерывных функций на границе, в к-руго естественно (согласно принципу максимума) вкладывается А, а максимальные идеалы, отвечающие граничным точкам,- продолжаются. Подобно алгебрам аналитич. функций, для общих коммутативных банаховых алгебр имеет место локальный принцип максимума модуля: если V- открытое подмножество пространства Мд, то для всех где- замыкание п дV- топологич. граница множества Vв М A. Грубо говоря, это означает, что точка локального максимума непременно является точкой глобального максимума (нек-рого, быть может, другого элемента). Понятие К. г. используется при изучении равномерных алгебр, т. е. замкнутых, разделяющих точки и содержащих константы подалгебр Аалгебры С(X)всех непрерывных функций на компакте X. В данной ситуации Для каждой точки существует представляющая мера, сосредоточенная на границе Шилова, т. е. такая вероятностная мера m, что при всех (это верно для произвольных коммутативных банаховых алгебр). В простейшем (описанном выше) случае диска и алгебры аналитич. функций последняя формула сводится к Пуассона формуле. Вообще говоря, представляющая мера m не единственна. Для точек x, принадлежащих одной и той же доле Глисона (см. Алгебра функций), меры m можно выбирать взаимно абсолютно непрерывными, что при нек-рых дополнительных условиях типа единственности представляющих мер позволяет наделять доли Глисона пространства максимальных идеалов одномерной аналитич. структурой, согласованной с алгеброй. Каждая точка границы Шилова равномерной алгебры составляет одноточечную долю Глисона, но обратное, вообще говоря, неверно. Равенство дМ А=Х = М А для равномерных алгебр служит простейшим необходимым условием совпадения Ас С(Х). Без дополнительных предположений оно не является достаточным для такого совпадения даже в случае алгебр A = R(X)равномерных пределов рациональных функций на плоском компакте X. Пусть X- метризуемый компакт и А- равномерная алгебра на X. Тогда существует минимальная среди всех границ: д 0 М A. Замыкание минимальной границы совпадает с дМ A, однако, вообще говоря, д 0 М А не замкнуто: пример доставляет подалгебра тех аналитич. внутри диска функций, для к-рых f(0)=f(1). Граница д 0 М A совпадает с множеством точек пика относительно А, т. е. таких точек для к-рых существует с при всех С другой стороны, известно формально гораздо более слабое достаточное условие принадлежности к д 0 М A. Именно, если точка такова, что при нек-рых 0<с<1 и для каждой окрестности Vточки x в Аимеется элемент а, для к-рого и при то Абстрактная формула Пуассона усиливается следующим образом: для любой точки существует представляющая мера, сосредоточенная на д 0 М A (при этом д 0 М A, есть Gd -множество), и в таком виде она с успехом применяется в нек-рых вопросах теории приближений. Точки характеризуются тем, что для них такая мера единственна и совпадает с d-мерой, т. е. минимальная граница есть частный случай границы Шоке. Для алгебры A = R(X)равномерных пределов рациональных функций на плоском компакте Xсовпадение Ас С(X)равносильно совпадению Х = Мд с д 0 М A. Для произвольных равномерных алгебр это не так: существует равномерная алгебра А, отличная от С( М A), для к-рой М A метризуемо, и каждая точка является точкой пика (т. е. д 0 М A = М A). Существует и такая равномерная алгебра, что все доли Глисона тривиальны (одноточечны), однако даже граница Шилова составляет собственную часть пространства максимальных идеалов. Одно из алгебраич. обобщений понятия границы Шилова заключается в следующем. Пусть д 1 М A=дМ A и I — замкнутый идеал, порожденный набором элементов Пространство М А/I естественно отождествляется с множеством общих нулей функций Замыкание объединения границ дМ А/1 по всем (п-1)-наборам обозначается д п М A. Напр., для алгебры непрерывных функций в бидиске аналитических внутри его, д х М А- остов |l1| = | l2| = 1, д 2 М A- топологнч. граница |l1| = 1, |l2|=1, д 3 М А=М А. Эти обобщения полезны при доказательстве теорем о многомерной аналитич. структуре в пространстве максимальных идеалов. Понятия К. г. (или функциональных границ), аналогичные описанным, встречаются в теории аналитич. функций (граница Бергмана), теории вероятностей (граница Мартина) и в ряде других разделов математики. При этом исходный запас функциональных элементов не обязательно предполагается составляющим алгебру или кольцо. Лит.:[1] Basener R., "Proc. Airier. Math. Soc", 1975, v. 47, № 1, p. 98-104; [2] Вrowder A., Introduction to function algebras, N. Y.- Amst., 1969; [3] Гамелин Т. В., Равномерные алгебры, пер. с англ., М., 1973; [4] Гельфанд И. М., Райков Д. А., Шилов Г. Е., Коммутативные нормированные кольца, М., 1960; [5] Гончар А. А., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1963, т. 27, № 4 с. 949-55; [6] Фелпс Р., Лекции о теоремах Шоке, пер. с англ., М., 1968. Е. А. Горин.