Когомологий Алгебр Ли

Специальный случай когомологий алгебр. Пусть — алгебра Ли над коммутативным кольцом Кс единицей и пусть задан левый -модуль V. т. е. линейное над Кпредставление алгебры в K-модуле V. Модулем р-м ерных когомологий алгебры Ли со значениями в F наз. ( К, V), р = 0, 1, 2,..., где -универсальная обертывающая алгебра алгебры [3]. Иначе говоря, соответствие есть p-й правый производный функтор для функтора из категории -модулей в категорию K-модулей, где }. Функтор = является когомологическим (см. Гомологический функтор). В малых размерностях К. а. Ли интерпретируются следующим образом. Модуль совпадает с Если V', V"- -модули, то можно отождествить с множеством классов эквивалентных расширений -модуля V" с ядром V'. Если рассматривать как -модуль относительно присоединенного представленияad, то изоморфен фактормодулю модуля всех дифференцирований по подмодулю внутренних дифференцирований. Если есть свободный K-модуль (напр., К- поле), то отождествляется с множеством классов эквивалентных расширений алгебры ядром к-рых служит абелева алгебра Ли Vс заданным представлением алгебры Модуль интерпретируется также как множество инфинитезимальных деформаций алгебры Ли Имеется следующая связь между К. а. Ли и когомологиями ассоциативных алгебр; если — свободный K-модуль и V- произвольный двусторонний -модуль, то где представление алгебры в Vопределяется формулой Другой способ введения К. а. Ли (см. [6], [14]) использует коцепной комплекс = где — модуль всех кососимметрических р-линейных отображений снабженный кограницей вида где знак показывает, что соответствующий аргумент пропускается. В случае, когда — свободный К- модуль, когомологии этого комплекса естественно изоморфны модулям С каждой подалгеброй связывается подкомплекс приводящий к относительным кого мологиям = Если V-алгебра над К, на к-рой действует дифференцированиями, то в когомологиях возникает естественное умножение, к-рое превращает в градуированную алгебру. Пусть — алгебра Ли (над R)гладких векторных полей на дифференцируемом многообразии М, V=F(M)- пространство гладких функций на Мс естественной структурой -модуля. Определение кограницы в формально совпадает с определением внешнего дифференциала дифференциальной формы. Точнее, комплекс де Рама есть подкомплекс в состоящий из коцепей, линейных над F(M). С другой стороны, если — алгебра Ли связной вещественной группы Ли G, то комплекс отождествляется с комплексом левоинвариантных дифференциальных форм на G. Аналогично, если — подалгебра, отвечающая связной замкнутой подгруппе то естественно изоморфен комплексу G-инвариантных дифференциальных форм на многообразии G/H. В частности, если Gкомпактна, то отсюда получаются изоморфизмы градуированных алгебр: Именно эти факты послужили отправной точкой при определении К. а. Ли. На них основаны и приложения аппарата К. а. Ли к изучению когомологии главных расслоений и однородных пространств (см. [8], [14]). Двойственным образом определяются гомологии алгебры Ли с коэффициентами в правом -модуле V. А именно, р-мерная группа гомологии есть K-модуль В частности, а если V- тривиальный -модуль, то При вычислении К. а. Ли широко используются следующие спектральные последовательности, часто наз. спектральными последовательностями Хохшильда — Серра. Пусть — идеал в и V- некоторый — модуль. Если и — свободные K-модули, то существует спектральная последовательность с сходящаяся к (см. [3], [14]). Аналогичная спектральная последовательность существует для гомологии [3]. Далее, пусть — конечномерная алгебра Ли над полем Кхарактеристики О, — ее подалгебры, причем редуктивна в V- -модуль, являющийся полупростым -модулем. Тогда существует спектральная последовательность с сходящаяся к (см. [12], [14]). Полностью изучены когомологии конечномерных редуктивных и, в частности, полупростых алгебр Ли над полем характеристики 0. Если — полупростая конечномерная алгебра Ли над таким полем, то для любого конечномерного -модуля Vимеют место равенства (леммы Уайтхеда). Первое из этих свойств является и достаточным условием полупростоты конечномерной алгебры и равносильно также полупростоте всех конечномерных -модулей. Второе свойство равносильно теореме Леви (см. Леви- Мальцева разложение). для алгебр Ли с абелевым радикалом [1], [5], [14]. Если — редуктивная алгебра Ли, — ее подалгебра и V- конечномерный полупростой модуль, то что сводит вычисление когомологии к случаю тривиального -модуля: V=K (см. [5], [14]). Алгебра когомологии редуктивной алгебры Ли естественно изоморфна алгебре коцепей, инвариантных относительно ad. В этом случае является алгеброй Хопфа и, следовательно, есть внешняя алгебра над пространством примитивных элементов, градуированных нечетными степенями 2mi-1, i=l,. .., r. В частности,есть размерность центра алгебры а изоморфно пространству инвариантных квадратичных форм на (см. [12], [14]). Если Калгебраически замкнуто, то rесть ранг алгебры т. е. размерность ее подалгебры Картана а mi суть степени свободных образующих в алгебре многочленов на инвариантных относительно ad (или в изоморфной, ей алгебре многочленов на инвариантных относительно группы Вейля). В этом случае числа 2mi-1 совпадают с размерностями примитивных классов когомологии соответствующей компактной группы Ли. Алгебра гомологии редуктивной алгебры Ли над полем характеристики 0 есть внешняя: алгебра, двойственная к Для любой n-мерной унимодулярной алгебры Ли справедлив аналог двойственности Пуанкаре: где и — любая m-мерная редуктивная в подалгебра (см. [14], [16]). Для когомологии разрешимых алгебр Ли известны, лишь немногие сколько-нибудь общие утверждения. Напр., пусть — конечномерная нильпотентная алгебра Ли над бесконечным полем, а V- конечномерный -модуль. Тогда для всех р, если в Vнет тривиальных -подмодулей, и для р=0, l,...,n = dim причем для если такой -подмодуль существует (см.. [7]). Хорошо изучены группы Н p(n, V), где n — нильпотентный радикал параболической подалгебры в некоторой полупростой алгебре Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики 0, а представление алгебры n в Vявляется ограничением некоторого представления алгебры в V(см. [11]). Эти когомологии тесно связаны с когомологиями комплексного однородного пространства G/P, отвечающего паре со значениями в пучках ростков голоморфных сечений однородных векторных расслоений над G/P. Для вычисления когомологий неполупростых конечномерных алгебр Ли над полем характеристики О полезна формула где — идеал в причем полупроста [14]. В некоторых случаях можно установить связь между К. а. Ли и когомологиями групп. Пусть G- связная вещественная группа Ли, К- ее максимальная компактная подалгебра, — их алгебры Ли, V — конечномерный гладкий G-модуль. Если определить в V естественную структуру -модуля, то когомологий изоморфны когомологиям группы G{как абстрактной группы), вычисленным с помощью непрерывных коцепей [10]. С другой стороны, пусть — алгебра Ли односвязной разрешимой группы Ли G, Г — решетка в Gи — гладкое конечномерное линейное представление. Если r(Г)AdГ плотна по Зарискому в алгебраич. замыкании группы то (см. [4]). В общем случае (р=0,1,...). Для нильпотентной Q достаточно потребовать, чтобы р было унипотентным. Если решетка Г в односвязной разрешимой группе Gтакова, что AdГ плотна в алгебраич. замыкании группы AdГ (напр., Gнильпотентна), то В последние годы стали систематически изучаться когомологий некоторых бесконечномерных алгебр Ли. К ним относятся алгебра векторных полей на дифференцируемом многообразии М, алгебра Ли формальных векторных полей, подалгебры этих алгебр, состоящие из бездивергентных, гамильтоновых или канонических векторных полей (см. [2], [13]), а также некоторые классические банаховы алгебры Ли [9]. Лит.:[1] Джекобсон Н., Алгебры Ли, пер. с англ., М., 1964; [2] Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 11, М., 1974, с. 37-123; [3] Картан А., Эйленберг С, Гомологическая алгебра, пер. с англ., М., 1960; [4] Рагунатан М., Дискретные подгруппы групп Ли, пер. с англ., М., 1977; [5] Теория алгебр Ли. Топология групп Ли. Семинар "Софус Ли", пер. с франц., М., 1961; [6] Сhevаllе у С, Еilenberg S., "Trans. Amer. Math. Soc", 1948, v. 63, p. 85-124; [7] Dixmier J., "Acta scient. mat. Szeged", 1955, v. 16, № 3-4, p. 246-50; [8] Greub W., Ha1perin S., Vanstоne R., Connections, curvature and cohomology. Vol. 3: Cohomology of principal bundles and homogeneous spaces, N. Y.- L., 1975; [9] de la Harpe P., Classical Banach- Lie algebras and Banach — Lie groups of operators in Hilbert space, В.- Hdlb.-N. Y., 1972; [10] Hосhsсhild G., Mоstow G. D., "III. J. Math.", 1962, v. 6. № 3, p. 367 — 401; [11] Kostant В., "Ann. Math.", 1961, v. 74, № 2, p. 329-87; [12] Коszul J. L., "Bull. Soc. math. France", 1950, t. 78, p. 65-127; [13] Lichnerowicz A., "J. math, pures appl.", 1974, t. 53, №4, p. 459-83; [14] Verona A., Introducere 1n coomologia algebrelor Lie, Buc, 1974. А. Л. Онищип.