Когомологии Алгебр

Группы (см. ФункторExt), где D — ассоциативная алгебра над коммутативным кольцом Кс фиксированным гомоморфизмом K-алгебр позволяющим рассматривать кольцо Ккак Л-модуль, a А есть R-модуль. Это определение охватывает наиболее распространенные теории когомологии нек-рых типов (универсальных) алгебр. Впервые группы когомологии групп во всех размерностях были введены С. Эйленбергом и С. Маклейном [3] в связи с топологич. исследоваяиями и Д. К. Фаддеевым [5] — с чисто алгебраич. точки зрения — как группы классов обобщенных систем факторов, в 40-х гг. 20 в. Ранее изучались в той или иной форме когомологии групп в малых размерностях (см. [1], [2], [4]). Примеры групп когомологии. 1) Если К= Z — кольцо целых чисел, G-группа, Д = ZG — групповая алгебра группы Gнад Z, то группы Hn{R, А )наз. группами когомологии группы Gс коэффициентами (или со значениями) в Д-модуле Аи обозначаются Hn(G, A). Можно вместо группы Gрассмотреть моноид Gи аналогично получить группы когомологии Hn(G, А )моноида G.2) Если S- ассоциативная К-алгебра, S0 — антиизоморфная ей K-алгебра, то группы Hn(R, А )наз. группами когомологии ассоциативной алгебры Sс коэффициентами в S-бимодуле А(т. е. в R-модуле А)и обозначаются Hn(S, А). Если К — поле, то группы Hn(S, А )наз. группами когомологии Хохшильда Z-алгебры S.3) Если S-алгебра Ли над полем К, R= US- ее универсальная обертывающая алгебра с пополнением то группы Hn(R, А )наз. группами когомологийалгебры Л и S с коэффициентами в US -модуле А(т. е. в лиевом S-модуле А)и обозначаются Hn(S, А). При n=0, 1, 2 группы когомологий в ряде случаев допускают простую интерпретацию. а) Если G- группа, то группа H0(G, А )изоморфна группе инвариантных элементов; группа H1(G, А)изоморфна факторгруппе Der(G, A)/Ider(G, А), где — группа дифференцирований (или скрещенных гомоморфизмов), -группа внутренних дифференцирований (или главных скрещенных гомоморфизмов), при этом точна последовательность для абелевой группы Gгруппа H2(G, А)изоморфна группе расширений группы Ас помощью группы G(см. Бэра умножение);третья группа когомологии группы Gсвязана с препятствиями для расширений (см. [9], гл. IV). б) Если S- ассоциативная K-алгебра, то группа H0(S, А )изоморфна группе группа Я 1 (S, А )изоморфна факторгруппе где группа H2(S, А )описывает сингулярные расширения S-бимодуля Ас помощью кольца S(см. [14]). в) Если S- алгебра Ли, то группа H0(S, А )изоморфна K-модулю группа H1(S, А )изоморфна факторгруппе где двумерная группа когомологии H2(S, А )алгебры Ли соответствуют K-расщепляющимся расширениям алгебр Ли (см. [6], гл. XVI); в нек-рых случаях элементы группы H3(S, А )являются препятствиями в задаче о расширении. Группы когомологии находят широкое применение в различных областях алгебры. Так, напр., если G- группа и H2(G, А) = 0 для всех ZG-модулей А, то G- свободная группа (теорема Столлингса, см. Гомологическая размерность). Если G- группа, С* — мультипликативная группа поля комплексных чисел, то группа М(G) = H2(G, С*) наз. мультипликатором Шура группы G. Она играет важную роль при изучении центральных расширений групп и в теории проективных представлений конечных групп [1]. Если G- группа, А- ZG-модуль и рА=0 для простого числа р, то где k=GF(p)- поле из рэлементов. Если G- конечная р-группа, то d(G)=dimk H1(G, k)- минимальное число образующих группы G,r(G) = dimk H2(G, k) — минимальное число определяющих соотношений для G, рассматриваемой как про-р-группа, где R(G)- минимальное число соотношений дискретной группы G. Тот факт, что r(G)- d(G)стремится к бесконечности при приводит к отрицательному решению проблемы башни полей, проблемы Куроша о нильалгебрах и общей проблемы Бернсайда [10]. Если G- про-р-группа, — семейство всех ее открытых нормальных делителей, то группа наз. п- йгруппой когомологии про-р-группы С с коэффициентами в ZG-модуле Аи обозначается Hn(G, А). Если Е- расширение Галуа поля Lс группой Галуа G=G(E/L), то группа Gявляется про-р-группой, группы Hn(G, А )наз. группами когомологий Галуа. Важную роль играют группы Hq(G, Е*), где Е*- мультипликативная группа поля Е. Так, H1(G, E*)=0, а следствием этого факта является известная теорема Гильберта (о циклических расширениях) 90. Если же Е- сепарабельное замыкание поля L, то группа H2(G(E/L), Е* )наз. группой Брауэра поля L(см. Брауэра группа). В настоящее время (1978) развита теория Галуа коммутативных колец, в к-рой существенную роль играют когомологий Галуа коммутативных колец и группа Брауэра. Если S- ассоциативная алгебра, то из H2(S, S) = 0 следует, что алгебра Sжесткая (см. Деформация, алгебры). Группы когомологий Hn(R, А )в нек-ром смысле двойственны группам гомологии ассоциативной K-алгебры Rс коэффициентами в R-модуле А. Если G-группа, R=ZG и К=Z, то группы Hn(R, А )наз. группам игомологийгруппы Gс коэффициентами в R-модуле Аи обозначаются Н n(G, А);если S- ассоциативная K-алгебра и R= то группы Hn(R, А )наз. группами гомологии ассоциативной алгебры Sс коэффициентами в S-бимодуле Аи обозначаются Hn(S, А);если S — алгебра Ли и R=US- ее универсальная обертывающая алгебра, то группы Hn(R, А). наз. группами гомологии алгебры Л и Sс коэффициентами в лиевом S-модуле Аи обозначаются Hn(S, А). Группы гомологии в малых размерностях в ряде случаев также допускают простую интерпретацию. Так, если G — группа, то H0(G, Z)Z, H1(G, Z)G/[G, G]. Если в абелевой категории функтор Hom обладает производным функтором Ext и определен функтор с его производным функтором Тог, то приведенная схема определяет теории гомологий и когомологий в этой категории. Весьма общий подход к построению теории когомологий может быть развит с использованием котроек [11]. Понятие (ко)тройки возникло при анализе минимальных средств, необходимых для построения симплициальных резольвент. Тройкой T=(T, k, p) над категорией U наз. совокупность функтора и двух естественных преобразований функторов подчиненных условиям Понятие котройки двойственно, т. е. получается из приведенного обращением стрелок. Если объект и морфизм удовлетворяют условиям то пару (X, q )наз. T-алгеброй. Пусть UT — категория T-алгебр. Если то Тем самым определен функтор (в нек-ром смысле F(X) — объект, свободный над X). Пусть — функтор, забывающий T -структуру. Тогда функторы Fи Uсопряжены, UF=T,a G=FU:: с определяют котройку (G, l, q )и комплекс с дифференцированием (этот комплекс является аналогом свободной резольвенты объекта X). Если категория абелева и полученный комплекс ацикличен, то стандартное применение функтора Hom (соответственно ) приводит к построению групп когомологий (соответственно гомологии) объекта X. В общем случае над T-алгеброй (X, q )надо построить новую абелеву категорию (X, q )-модулей, на к-рой имеется естественная структура котройки, позволяющая уже построить группы, называющиеся группами когомологий первоначальной категории (аналогично построению групп когомологий для категорий групп, ассоциативных алгебр и алгебр Ли). В эту схему включаются как когомологий групп, ассоциативных алгебр, алгебр Ли, так и ряд других теорий когомологий (когомологий коммутативных алгебр Харрисона, когомологий Андре — Квиллена, когомологий Амицура и др., см. [8]). Все приведенные конструкции относились так или иначе к абелевым категориям. В то же время ряд разделов математики (напр., теория расширений групп) приводит к необходимости построения теории когомологий с коэффициентами в неабелевой категории (напр., в неабелевом G-модуле Ав случае группы G)(см. [8], [11]). Отправной точкой для построения различных теорий неабелевых когомологий алгебр служат интерпретации когомологий в размерностях 0 и 1, но при этом приходится отказываться от нек-рых привычных аспектов классической теории (структуры группы на когомологиях и др.). Рассматривались когомологий топологических алгебраических структур (напр., когомологий топологич. групп [5], банаховых алгебр и др.). Лит.:[1] Schur J., "J. reine und angew. Math.", 1907, Bd 132, S. 85 — 137; [2] Baer R., "Math. Z.", 1934, Bd 38, S. 374-416; [3] Eilenberg S., MacLane S.,"Proc. Nath. Acad. Sci. USA", 1943, v. 29, p. 155-58; [4] Hopf H., "Comment, math, helv.", 1944/45, v. 17, p. 39-79; [5] Фаддеев Д. К., "Докл. АН СССР", 1947, т. 58, Л" 3, с. 361 — 64; [6]Картан А., Эйленберг С, Гомологическая алгебра, пер. с англ., М., 1960; [7] Гротендик А., О некоторых вопросах гомологической алгебры, пер. с франц., М., 1961; [8] Итоги науки. Алгебра. 1964, М., 1966, с. 203-35; [9] Маклейн С, Гомология, пер. с англ., М., 1966; [10] Серр Ж.-П., Когомологий Галуа, пер. с франц., М., 1968; [11] Seminar on Triples and Categorical Homology Theory. Zurich. 1966-67, В.- Hdlb.-N. Y., 1969; [12] G men berg K. W., Cohomological topics in group theory, B.- Hdlb.- N. Y., 1970; [13] Stammbасh Urs., Homology in group theory, B.- Hdlb.-N. Y., 1973; [14] Fossum R., Griffith Ph., Reiter I., Trivial extensions of abelian categories. Homological algebra of trivial extensions of abelian categories with application to ring theory, В.- Hdlb.- N. Y., 1975. Б. E. Говоров, А. В. Михалев.