Когерентный Алгебраический Пучок

Когерентный пучок модулей на алгебраич. многообразии или схеме. Структурный пучок нётеровой схемы и, в частности, алгебраич. многообразия является когерентным. К. а. п.- удобное средство исследования алгебраич. многообразий. Интуитивно К. а. п. соответствуют представлению о непрерывной алгебраич. системе линейных пространств на многообразии (см. Векторное расслоение на алгебраическом многообразии) и возникают при рассмотрении линейных и алгебраич. семейств дивизоров, вложений многообразия в проективное пространство, дифференциальных форм, векторных полей и автоморфизмов, деформаций многообразий и подмногообразий, одним словом — при линеаризации всевозможных задач алгебраич. геометрии (см. [3]). Результаты при этом формулируются в терминах когомологий К. а. п. Теория когомологий К. а. п. включает: а) конечности теоремы (в алгебраической геометрии), утверждающие конечномерность пространств когомологий когерентного пучка на полном многообразии Х;б) Римана- Роха теорему, вычисляющую характеристику Эйлера-Пуанкаре К. а. п.; в) теоремы об обращении в нуль высших когомологий типа теоремы Серра (см. Аффинная схема )или Кодаиры теоремы, (см. [4], [5]); г) теоремы двойственности (см. Двойственность в алгебраической геометрии), связывающие i-мерные и (п-i)-мерные когомологий пучков на гладком многообразии размерности п;д) Кюннета формулы, выражающие когомологий некоторых пучков на произведении многообразий; е) сравнения теоремы в алгебраич. геометрии с другими теориями когомологий- аналитическими, формальными, этальными; ж) теорию локальных когомологий, полезную при изучении К. а. п. на неполных многообразиях. Одно из важнейших ее применений относится к Лефшеца теореме, сравнивающей свойства многообразия и его гиперплоского сечения. Многие результаты обобщаются на случай, когда одно многообразие Xзаменяется семейством многообразий, т. е. на случай морфизма Пространства когомологий заменяются при этом пучками производных от функтора прямого образа большую роль здесь играет поведение этих функторов при замене базы. См. также Квазикогерентный пучок, Когомологий со значениями в пучке. Лит.:[1] Серр Ж.-П., в сб.: Расслоенные пространства, пер. с англ., М., 1958, с. 372-450; [2] Grоthendieсk А., Elements de geometrie algebrique, t. 3, P., 1961 (Publs math. IHES, № 11); [3] Mамфорд Д., Лекции о кривых на алгебраической поверхности, пер. с англ., М., 1968; [4] Кодаира К., "Математика", 1958, т. 2, №6, с. 126-31; [5]Мumfоrd D., "Amer. J. Math.", 1967, v. 89, № 1, p. 94- 104; [6] Итоги науки и техники. Алгебра. Геометрия. Топология, т. 10, М., 1972, с. 47 — 112. В. И. Данилов.