Кобордизм

Кобордизмов теория,- обобщенная теория когомологий, определенная спектрами пространств Тома и связанная с различными структурами в стабильном касательном или нормальном расслоении к многообразию. Теория К. двойственна (в смысле S-двойственности )теории бордизмов. Простейшим примером К. являются ортогональные, или неориентированные К. Пусть О r — группа ортогональных преобразований евклидова пространства Rr, ВО r- ее классифицирующее пространспгво. Стандартное вложение задает отображение jr:: переводящее универсальное расслоениеgr+1 над ВО r+1 в расслоение где q — одномерное тривиальное расслоение над ВО r. Если ТВО r- Тома пространство расслоения gr, то получается индуцированное отображением jr отображение sr: STBOrTBOr+1, где S- оператор надстройки. Последовательность образует спектр пространств и, следовательно, задает теорию когомологий, наз. теорией ортогональных К., или О-К., обозначаемую О*. Группа О п( Х, А)n-мерных О-К. пары пространств (X, А)определяется как где [ Р, Q] — множество гомотоппч. классов отображений из Рв Q. При этом О п (Х)=О n( Х, ф), где ф- пустое множество, а под Х/ф = Х + понимается несвязное объединение Xи точки. Группа О n(X, х 0), где наз. приведенной группой n-мерных О-К. пространства X. Обобщенная теория гомологии, двойственная теории О-К., наз. теорией О-бордизмов. Группы О п( Х, А)n-мерных бордизмов пары (X, А )определяются как Группы n-мерных О-К. точки обозначаются через W0n, а n-мерных О-бордизмов точки — через последние описываются чисто геометрически. При этом так что ее можно интерпретировать как группу К. и как группу бордизмов (см. Бордизм), где она обозначена Полная группа коэффициентов теории О-К.- градуированная группа — является кольцом: умножение индуцировано прямым произведением многообразий. Более того, для любого конечного СW -комплекса Хгруппа является естественным по Xкольцом, поскольку индуцированное вложением О т+п отображение задает отображение так что — мультипликативный спектр пространств. Общая ситуация описывается следующим образом. Структурной серией ( В, j) наз. последовательность расслоений и отображений таких, что Отображение jr задает векторное расслоение xr=j*gr над Br, причем ir*xr+1=xr+jr*q. Пусть ТВ r — пространство Тома расслоения xr; указанное равенство задает отображение sr:так что последовательность Т( В,j)= является спектром пространств и, следовательно, задает теорию когомологий, наз. теорией ( В, ф)-К., обозначаемую ( В, ф)*. Таким образом Группа коэффициентов теории ( В,j) -К. обозначается через . При этом где — группа коэффициентов двойственной теории ( В,j)-бордизмов, которая допускает геометрическое определение, использующее понятие так наз. ( В,j) -структуры:. определяется ( В,j)-бордантность и элементы W(B, j) интерпретируются как классы ( В, ф)-бордантных многообразий. Первые примеры теорий К. возникают из серий линейных групп. Напр., серия ортогональных групп определяет структурную серию , где Br=BOr,jr=id. Серия определяет структурную серию , где Br=BSOr,jr:- универсальное двулистное накрытие, соответствующее включению Соответствующая теория К. наз. теорией ориентированных К. и обозначается через SO*. Серия унитарных групп определяет теорию унитарных, или квазикомплексных К., обозначаемую U*. Здесь серия строится так: B2r-B2r+1=BUr- классифицирующее пространство группы Ur, а отображения jr — отображения классифицирующих пространств индуцированные естественными вложениями Серия симплектических групп определяет теорию симплектических К. Sp*, здесь B4r=B4r+1=B4r+2=B4r+3= В Spr, и отображения jr строятся так же, как и в случае унитарных К. Имеются также теории К., соответствующие сериям групп , , и т. д. Наконец, серия единичных групп , где jr :- расслоение со стягиваемым В r, дает теорию К., совпадающую с теорией стабильных когомотопических групп, и потому двойственная теория бордизмов изоморфна теории стабильных гомотопических групп, Е i (Х) pi+N(SN Х), E-многообразие наз. оснащенным, так как E-структура — это в точности оснащение (тривиализация) стабильного нормального расслоения. Теория Е-К. наз. теорией оснащенных К., а ее i -мерная группа коэффициентов обозначается через [так что это — первый пример К.; он появился у Л. С. Пбнтрягина (1955), проинтерпретировавшего стабильные гомотопич. группы сфер как (определяемые геометрически) группы оснащенных К. точки с целью вычисления группы Все описанные теории К., возникающие из серий линейных групп, являются мультипликативными, и потому для любого конечного CW-комплекса Хполная (градуированная) группа К. является кольцом. Например, для серии групп имеется вложение порождающее отображение и, следовательно, отображение TBU т+п. Спектр , представляющий теорию U*, имеет вид Mir=TBUr, M2r+1=STBUr и потому существуют отображения так что спектр пространств мультипликативен. Развитие теории К. началось с геометрич. определения и вычисления групп WE, WO, WSO. Важную роль сыграла теорема Понтрягина о том, что О-бордантные многообразия имеют одни и те же числа Штифеля. Исследование К. было продвинуто Р. Томом (R. Thorn). Он ввел пространства TВО N, TBSON и доказал изоморфизм pi+N(TBON)что позволило привлечь к вычислению колец К. точки методы гомотопич. топологии. Конструкции Тома стимулировали введение TBU п,. TBSpn и т. д. и соответствующих К. Основной задачей первого этапа развития теории К. и было вычисление колец К. точки. При изучении К. точки большую роль играют характеристические классы- Чжэня для WU, Штифеля для WO, Понтрягина и Штифеля для WSO. Вообще, для любой структурной серии ( В,j). и любой мультипликативной теории когомологий h*, в к-рой все расслоения xr над Br. ориентируемы, можно определить характеристические классы как элементы группы h*(B), где S=lim(Br, jr). При этом соответствующие характеристич. числа, являющиеся элементами кольца h* (точка), будут инвариантны относительно ( В, ф)-бордантности. Пусть х i — образующие By для классов. Чжэня и Sw — симметрич. функция от ппеременных, соответствующая нек-рому разбиению w= (i1, .... ik) числа п.Xарактеристич. класс Sw(x1,..., х п )обозначается через Аналогичные конструкции для классов Понтрягина и Штифеля обозначаются через и соответственно. продолжение ...1) Унитарные К. Кольцо WU.- свободная градуированная полиномиальная алгебра от счетного числа однородных образующих Множество , Deg xn=-2n является системой полиномиальных образующих тогда и только тогда, когда где (n) — разбиение числа п, состоящее из одного слагаемого. Одну из систем полиномиальных, образующих кольца WU. можно описать так. Пусть СР n есть n-мерное комплексное проективное пространство. Комплексная алгебраич. гиперповерхность бистепени (1,1) в С Р iX CPj является комплексным многообразием. Класс его унитарных К. обозначим Hi, j, Оказывается, что Si+j-1(Hi,j) = так что подходящая целочисленная линейная комбинация элементов Н i,j задает образующую кольца WU. степени 2(1-i-j). Из отсутствия кручения в кольце WU и того, что Н*(BU;Z)=Z[c1, ..., с п ...], где с п- Чжэня классы,deg с n=2n, следует, что Чжэня числа полностью определяют класс унитарных К. квазикомплексного многообразия. Пусть п- натуральное число (i1, ..., ik), is>0, — его разбиение. Каждому 2n-мерному (размерность действительная) квазикомплексному многообразию Мсоответствует набор = целых чисел, где мультииндекс i1, ...ik пробегает все разбиения числа п. Набор таких целых чисел реализуется как набор чисел Чжэня нек-рого квазикомплексного многообразия в следующей ситуации. Пусть — характеристический класс, заданный симметрия, функцией Sw от переменных exi-1, i=1, 2,..., |w|, а — характеристический класс, заданный произведением функций xi/(exi- 1), где х i- образующие By. Пусть х(М)- значение характеристич. класса x Hn( ВU;Q) на фундаментальном классе [М] Н п( М, Z )квазикомплексного многообразия Мс касательным расслоением ТМ. Для гомоморфизма тогда и только тогда существует такое замкнутое квазикомплексное многообразие М, что j(х) = х (М)для всех xО Hn(BU;.Q), когда j принимает целые значения на всех n-мерных компонентах каждого характеристич. класса (теорема Стонга). Эквивалентно, гомоморфизм Гуревича где — мономорфизм на прямое слагаемое (теорема Хаттори). Здесь К- приведенная К-теория.2) Неориентированные, или ортогональные, К. Каждый элемент кольца WO имеет порядок 2, и т. е. WO- свободная полиномиальная Z2 -алгебра. В качестве образующей х i можно выбрать любой элемент [М]. с напр. x2i=RP2i. В этой теории есть аналоги многообразий Hi,j, если вместо СР k брать RPk;. подходящее многообразие Hi,j может служить образующей степени 1-i-j. Штифеля числа полностью определяют класс неориентируемых К. многообразия, соотношения между числами Штифеля дает следующая теорема: для гомоморфизма j: Н n( ВО; Z2)Z2. Тогда и только тогда существует такое n-мерное замкнутое многообразие М, что j(x) = x(M)для всех когда j(Sqb+vb)=0 для всех ( ВО;.Z2), где v=Sq-1w. Здесь Sq=Sq1+Sq2+... — полная Стипрода операция, w=w1+w2+ ... — полный класс Штифеля. Образом гомоморфизма является кольцо (W0)23) Ориентированные К. с кольцом WSO. Все элементы подгруппы кручения Tors этого кольца имеют порядок 2. Кольцо WSO/Tors является кольцом полиномов над Z от классов х i степени — 4i, образующие выделяются условием Класс SO -К. многообразия определяется Понтрягина числами и числами Штифеля. Инвариантом класса К. является также сигнатура многообразия. Соотношения между числами Штифеля вытекают из следующего факта: образ гомоморфизма "забывания"состоит точно из тех классов К., у которых все числа, содержащие класс w1, равны нулю. Для любого разбиения w=(i1, .. .,ik )имеет место где р w,- соответствующее число Понтрягина. Не существует 2-примарьых соотношений между числами Понтрягина. Подобно тому, как для унитарных К. вводились классы вводятся классы — симметрич. функции от exi+е -xi-2. Пусть L- характеристич. класс, задающий L-poд Хирцебруха. Все соотношения между числами Понтрягина следуют из того, что числа Понтрягина целые, и Гомоморфизм эпиморфен.4) Специальные унитарные К. с кольцом WSU U -многообразие Мдопускает SU-структуру тогда и только тогда, когда С 1 (М) = 0. Все элементы подгруппы кручения Tors имеют порядок 2. Ядро гомоморфизма есть в точности Tors. Группы WnSU конечно порождены, и есть кольцо полиномов над Q от классов х i степени -2i, i>1. Подгруппа кручения Tors имеет вид Tors-n=0 при 8k+2, а для n=8k+1, 8k+2 группа Tors-n есть векторное пространство над Z2, размерность к-рого равна числу разбиений числа к. Два SU -многообразия бордантны тогда и только тогда, когда они имеют одни и те же характеристич. числа в целочисленных когомологиях и в КО -теории. Все соотношения между числами Чжэня для n-мерных SU -многообразий вытекают из следующих: с 1 сw (М)=0 для всех w: для всех w; если n=4 mod 8, то для всех w. Образ гомоморфизма WSU->WO состоит из классов [M]2, где М- ориентированное многообразие, у к-рого все числа Понтрягина, содержащие класс р 1, четны. Полностью вычислены также кольца WSpin и WSpinC Кольца WSp и Wfr до сих пор (1978) не вычислены. Кольцо является кольцом полиномов от (-4i)-мерных образующих. Все известные (1978) элементы группы Tors WSp имеют порядок 2. Что касается кольца Wfr, то здесь основным результатом является теорема Серра о конечности этих групп. Изучается также кольцо самосопряженных К. WSC, где объекты- квазикомплексные многообразия с заданным в нормальном расслоении оператором, изоморфно отображающим комплексную структуру на сопряженную. Спектр TBSC построен; о группах WSO известно, что там есть лишь 2-примарное кручение, но, в отличие от WSp, найдены элементы порядка 4k с любым к, именно [RP4k-3]. Вычислен также образ с помощью техники формальных групп. Отображение одной теории К. в другую, напр. SU*U*, индуцирует отображение спектров Конус этого отображения в категорию спектров задает обобщенную теорию когомологий. Кольцо точки полученной теории имеет следующую геометрич. интерпретацию. Пусть (U, SU)- U-многообразие, на краю к-рого (возможно, пустом) фиксирована SU -структура. Введением для (U, SU )-многообразий соответствующего отношения бордантности получается кольцо WU, SU. Так же вводятся группы WU, fr,WO, SO и др. Выше рассматривались гладкие многообразия или, эквивалентно, линейные представления групп (структурные серии возникали из расслоений над SOr). Можно рассматривать различные структуры на топологич. многообразиях, т. е. исходить из группы гомеоморфизмов (и даже собственных гомотопич. эквивалентностей) пространства Rr. Здесь известны следующие примеры (буква Sвезде означает переход к ориентированному случаю).5) Кусочно линейные К. Объекты — кусочно линейные многообразия. Соответствующее отношение бордантности приводит к группам WPL, WSPL. Определив группу PLn (соответственно SPLn). как группу кусочно линейных гомеоморфизмов пространства Rn на себя, сохраняющих начало координат (соответственно и сохраняющих ориентацию), можно ввести классифицирующие пространства BPLn, BSPLn и пространства Тома TBPLn, TBSPLn и построить теории К. PL, SPL. При этом W-iSPL ni(TBSPL). Группы WPL. вычислены. Класс К. кусочно линейного многообразия полностью определяется своими характеристич. числами, т. е. элементами группы H*(BPL; Z2).6) Топологические К. Объекты — топологич. многообразия, для к-рых определяются группы WTop, WSTop. Рассматривая группу Тор п, сохраняющих начало координат гомеоморфизмов пространства Rn на себя, можно определить пространства ВТор и ТВТор п. Группы pi( ТВТор) и Н*( ВТор, Z2 )вычислены. Однако изоморфизм установлен при всех i, кроме j=4. Отсутствие доказательства этого изоморфизма связано с тем, что теорема трансверсальности, на к-рой основан изоморфизм для топологич. многообразий, в общем случае не доказана (но и не опровергнута, 1978).7) К. комплексов Пуанкаре WG,WSG. Объекты — комплексы с Пуанкаре двойственностью, бордантность — соответствующее отношение эквивалентности. Такие комплексы имеют нормальное сферич. расслоение, к-рое индуцируется из универсального расслоения над BGN( или BSGN). Здесь GN (соответственно SGN)- Н-пространство гомотопич. эквивалентностей (соответственно степени 1) сферы SN на себя. Возникающие спектры Тома TBG и TBSG имеют конечные гомотопич. группы, в то время как сигнатура задает нетривиальный гомоморфизм так что отображение заведомо не изоморфизм. Еще одну серию примеров дают К. многообразий с особенностями специального типа. На этом пути можно построить теорию К., совпадающую с обычной теорией сингулярных когомологий, и теорию К., совпадающую со связной А*-теорией. Второй этап развития теории К. связан с изучением К. как специфических обобщенных теорий когомологий. Пусть F- одно из полей R, С или тело кватернионов И, GF- соответствующая серия групп (GRn=On, GCn=Un, GHn=Spn )и GF* — соответствующая теория К. Мультипликативная Ъбобщенная теория когомологий h* наз. F-o риентируемой, если любое F-векторное расслоение h*-ориентируемо или, эквивалентно, каноническое одномерное F-векторное расслоение где -проективное пространство, h* ориентируемо. F-ориентацией теории h* наз. h*-ориентация расслоения x, и теория с выбранной ориентацией наз. ориентированной. Теории GF-K. имеют канонич. ориентацию благодаря отождествлению FP°°=TBGF1. Теория GF* является универсальной в классе F-ориентированных теорий, т. е. для любой F-ориентированной теории h* с F-ориентацией Uh(x) существует единственный мультипликативный гомоморфизм теорий jh :при к-ром канонич. ориентация теории GF* переходит в Uh. При этом, когда F0- одно из полей R, С, то для любой Fo-. ориентированной теории h* и любого конечного CW-комплекса Xсуществуют спектральные последовательности и с сходящиеся к h*(X)и естественные по Xи h*, где h*(точка) сделано WGF0 модулем посредством гомоморфизма jh (точка). Если h*- теория гомологии, двойственная F-ориентированной теории когомологий h*, то имеется гомоморфизм jh : В случае, когда h*- обычная теория гомологии, он совпадает с гомоморфизмом Стинрода-Тома реализации циклов (см. Стинрода задача). Наиболее важные и удачные применения теории К.: доказательство теоремы Атьи-Зингера об индексе эллиптич. оператора и общей теоремы Римана-Роха; изучение неподвижных точек действий групп; классификация гладких (кусочно линейных) многообразий данного гомотопич. типа; доказательство теоремы о топологич. инвариантности рациональных классов Понтрягина и решение проблемы триангулируемости топологич. многообразия. Лит.:[1] Стонг Р., Заметки по теории кобордизмов, пер. с англ., М., 1973; [2] Коннер П., Флойд Э., Гладкие периодические отображения, пер. с англ., М., 1969; [3] Новиков С. П., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1967, т. 31, М4, с. 855-951; [4] Вroсker Т., Dieсk Т., Kobordis-mentheorie, В., 1970; [5] Бухштабер В. М., Итоги науки и техники. Алгебра. Геометрия. Топология, т. 13, М., 1975, с. 231 — 72. См. также лит. при статье Бордизм. Ю.