Кнезера — Титса Гипотеза

Гипотеза о строении ^-простых односвязных изотропных над полем калгебраич. групп. А именно, К.- Т. г. состоит в том, что группа Gk k-рациональных точек k-простой односвязной и изотропной над калгебраич. группы Gпорождается унипотентными элементами. В несколько менее общей форме это утверждение было высказано М. Кнезером (М. Kneser), общая формулировка принадлежит Ж. Титсу [1]. Для групп типа А п (см. Полупростая алгебраическая группа )К.- Т. г. эквивалентна проблеме Таннака — Артина о совпадении подгруппы SL(1, D )элементов единичной приведенной нормы конечномерного тела Dс коммутантом [D*, D*]. его мультипликативной группы. К.- Т. г. имеет тесную связь с вопросами аппроксимации в алгебраич. группах, рациональности групповых многообразий и алгебраич. К-теории. Справедливость К.- Т. г. доказана в случае локально компактных полей [2], а также для глобальных функциональных полей [3]. Более того, для глобальных полей нулевой характеристики метод спуска из [2] дал возможность доказать справедливость К.- Т. г. для всех алгебраич. групп за исключением типов Е 6 и E8. Однако в общем случае К.- Т. г. не верна, что следует из отрицательного решения проблемы Таннака — Артина [4]. Вследствие этого выдвинулись задачи исследования меры отклонения SL(1, D )от [D*, D*], выражаемой приведенной группой Уайтхеда. Результаты, полученные в этом направлении ([5] — [6]), составили основы приведенной K-теории. В [7] показано, что К.- Т. г. неверна и в случае унитарных групп, что, в свою очередь, открывает путь к развитию приведенной унитарной K-теории. Лит.:[1] Тits J., "Ann. Math.", 1964, v. 80, № 2, p. 313 — 29; [2] Платонов В. П., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1969, т. 33, К" 6, с. 1211-20; [3] его же, "Proc. Intern. Congr. Math. Vancouver", 1974, p. 471-76; [4] eго же, "Докл. АН СССР", 1975, т. 221, № 5, с. 1038-41; [5] е г о да е, "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1976, т. 40, № 2, с. 227-61; [6] его же, "Матем. сб.", 1976, т. 100, № 2, с. 191-200; [7] Платонов В. П., Янчевский В. И., "Докл. АН СССР", 1975, т. 225, №1, с. 48-51. В. Я. Янчевский.