Кнезера Теорема

Об одномерных слоениях без особенностей на замкнутых поверхностях рода нуль — теорема, устанавливающая свойства такого слоения в зависимости от наличия или отсутствия у него замкнутых слоев и описывающая поведение незамкнутых слоев в областях, ограничиваемых замкнутыми слоями. К. т. принадлежит X. Кнезеру (говорившему не о слоениях, а о "регулярных семействах кривых на поверхности" [1]; модзрнизированное изложение основных аспектов К. т. см. в [2], [3]). Чаще всего К. т. упоминается в связи с траекториями потока без положений равновесия на торе или Клейна поверхности:эти траектории образуют слоение рассматриваемого в К. т. типа. Одномерное слоение (без особенностей) на поверхности — это целиком заполняющее последнюю семейство непересекающихся кривых ("слоев"), причем у каждой точки имеется такая координатная окрестность U, что в терминах соответствующих локальных координат х 1, х 2 слоение локально выглядит как семейство прямых х 2 =const (точнее, такое уравнение имеют связные компоненты пересечений слоев с U). Слоение наз. ориентируемым, если можно так определить нек-рое "положительное" направление на каждом его слое (ориентировать слои), чтобы для различных слоев эти направления были согласованы — при непрерывном переходе от слоя к слою положительное направление нигде не менялось скачком. Ориентируемы те и только те слоения, к-рые состоят из траекторий нек-рых потоков без положений равновесия. Пусть на поверхности Мзадано поле направлений (поле линейных элементов) — каждой точке сопоставлено одномерное подпространство 1(х). касательной плоскости Т Х М в этой точке (если Млежит в евклидовом пространстве, то 1(х)представляется прямой, касающейся Мв точке х, см. рис. 1). Если l(х)гладко зависит от х, то интегральные кривые этого поля направлений образуют одномерное слоение, к-рое может и не быть ориентируемым. Основное содержание К. т. относится к тому случаю, когда у слоения имеются как замкнутые, так и незамкнутые слои. Утверждается, что последние заполняют области, ограниченные первыми, причем эти области могут быть трех типов — см. рис, 2, где подразумевается, что у каждого прямоугольника а), б) и в) надо верхнюю сторону склеить с нижней, причем Асклеивается с А', а В- с В'; (напр., из а) при этом получается "кольцо Кнезера", см. рис. в ст. Дифференциальные уравнения на торе. Если на поверхности имеется только один замкнутый слой, то у прямоугольника надо дополнительно склеить еще левую и правую стороны. Незамкнутый слой, лежащий в одной из этих областей, при неограниченном продолжении в одну сторону навивается на замкнутый слой, ограничивающий данную область, или на один из двух ограничивающих ее замкнутых слоев. При продолжении в другую сторону незамкнутый слои навивается, соответственно, на тот же замкнутый слой (но с другой стороны) или на второй из упомянутых замкнутых слоев. Областей типа а) и б) может быть лишь конечное число, причем неориентируемая область типа б) возможна только на поверхности Клейна и только- для неориентируемого слоения, областей типа в) — конечное или счетное число.X. Кнезер доказал также, что тот случай, когда у слоения нет замкнутых слоев, возможен только для ориентируемого слоения на торе, и что в этом случае имеется замкнутая линия L, трансверсальная к слоению и пересекающая все слои. (В общем случае, когда не предполагается, что слои гладкие и что слоение задается нек-рым полем направлений, трансверсальность понимается в том смысле, что у каждой точки линии Lимеется координатная окрестность, в к-рой слои задаются уравнением x2=const, a L — уравнением х 1=0. )См. об этом также в ст. Дифференциальные уравнения на торе. Лит.:[1] Kneser H., "Math. Ann.", 1924, Bd 91, № 1-2, S. 135-54; [2] Reinhаrt B. L., "Amer. J. Math.", 1959, v. 81, № 3, p. 617-31; [3] Aepplу А., Маrkus L., "Amer. J. Math.", 1963, v. 85, № 4, p. 633-54. Д. В. Аносов.