Клиффордова Полугруппа

Вполне регулярная полугрупп а,- полугруппа, каждый элемент к-рой является групповым, т. е. принадлежит нек-рой подгруппе. Элемент полугруппы будет групповым тогда и только тогда, когда он вполне регулярен (см. Регулярный элемент). Свойство полугруппы Sбыть К. п. эквивалентно каждому из следующих: 1) для любого имеет место 2) каждый односторонний идеал Iиз Sизолирован, т. е. из того, что следует при любом натуральном п. К. п. наряду с инверсными полугруппами представляют собой один из важнейших типов регулярных полугрупп. Их изучение началось с основополагающей работы А. Клиффорда [1]. Произвольная К. п. обладает (единственным) разбиением на группы, классы к-рого суть в точности -классы (см. Грина отношения эквивалентности). Указанное разбиение не всегда будет связкой (см. Связка полугрупп);условия, когда это так, известны (см. [3]). Отношения Грина и на К. п. совпадают. Всякая вполне простая полугруппа будет К. п., причем для К. п. свойство быть вполне простой эквивалентно идеальной простоте (см. Простая полугруппа). Произвольная К. п. Sразлагается в полуструктуру вполне простых полугрупп, это разложение единственно, его компоненты суть в точности -классы, а соответствующая факторполуструктура изоморфна полуструктуре главных идеалов полугруппы S;обратно, всякая полугруппа, разложимая в полуструктуру вполне простых полугрупп, есть К. п. Для К. п. Sследующие условия эквивалентны: 1) Sинверсна; 2) каждый идемпотент из Sлежит в центре, т. е. перестановочен с любым элементом из S;3) каждый односторонний идеал полугруппы Sявляется двусторонним; 4) отношения Грина и на Sсовпадают; 5) Sесть полуструктура групп; 6) Sразложима в подпрямое произведение групп и групп с присоединенным нулем. Указанное выше разложение произвольной К. п. в полуструктуру вполне простых полугрупп определяет ее "грубое строение". Закон перемножения элементов в компонентах этого разложения описывает теорема Риса (см. Вполне простая полугруппа). Дальнейшее изучение К. п. в значительной степени направлено на выяснение "тонкого строения", т. е. закона перемножения элементов из различных компонент. В случае, когда эти компоненты — группы, т. е. для инверсных К. п., известно следующее конструктивное описание в терминах так наз. суммы прямого спектра групп. Пусть — семейство попарно непересекающихся групп, А- полуструктура (см. Идемпотентов полугруппа )и каждой паре элементов таких, что поставлен в соответствие гомоморфизм причем ja, a для любого а есть тождественный автоморфизм и для любых имеет место ja, b Хjb, g=ja, g . На объединении зада-, ется умножение Х, а именно, аХb=аХja, abbja, ab для любых и Тогда Sпревращается в инверсную К. л. Обратно, каждая инверсная К. п. может быть получена указанным способом. В общем случае проблема "тонкого строения" К. п. чрезвычайно усложняется, и удовлетворительного ее решепия пока (1978) нет. Некоторые весьма сложные конструкции, описывающие К. п. в терминах вполне простых полугрупп, их сдвиговых оболочек, полуструктур, отображений со специальными свойствами, приведены в [5]. Больший прогресс достигнут в случае ортодоксальных К. п. (см. Регулярная полугруппа);такие полугруппы наз. ортогруппами. Для них имеется несколько обозримых, хотя и довольно громоздких конструкций (см. [2]). Все упомянутые конструкции так или иначе обобщают приведенное выше описание инверсных К. п., полученное в [1]. Лит.:[1] Clifford A., "Ann. Math.", 1941, V. 42, № 4, p. 1037-49; [2] его же, "J. Pure and Appl. Algebra", 1976, v. 8, № 1, p. 23-50; [3] Клиффорд А., Престон Г., Алгебраическая теория полугрупп, пер. с англ., т. 1-2, М., 1972; [4] Ляпин Е. С, Полугруппы, М., 1960; [5] Реtriсh M., "Trans. Amer. Math. Soc", 1974, v. 189, p. 211-36. Л. Н. Шеврин.