Классифицирующее Пространство

База В 0 универсального расслоения x= (E0, р 0, В о). Универсальность расслоения x понимается в следующем смысле. Пусть kG (Х) — множество классов эквивалентности (относительно изоморфизма, накрывающего тождественное отображение X)локально тривиальных расслоений над клеточным разбиением Xсо структурной группой G. Если 2;= (E, р, В)- локально тривиальное расслоение со структурной группой G, В'- топологич. пространство, f, g:- гомотопные отображения, то индуцированные расслоения f*(x) и g*(x). над В' принадлежат одному и тому же классу kG( В'). Локально тривиальное расслоение xG=(EG. p, BG )наз. универсальным, если отображение взаимно однозначно. Пространство BG в этом случае наз. также классифицирующим пространством группы G. Главное расслоение со структурной группой G универсально (в классе локально тривиальных расслоений над клеточными разбиениями), если пространство расслоения имеет нулевые гомотопич. группы. Важнейшие примеры К. п. ВО п, BSOn, BUn, BSUn для групп О n, SOn, Un, SUn соответственно конструируются следующим образом. Пусть G(n, k)- Грассмана многообразие, оно является базой главного О п- расслоения с Штифеля многообразием V(n, к )в качестве пространства расслоения. Естественные вложения и позволяют строить объединения G(n)=и V(n)=Расслоение (V(n), p0, G(n))универсально, a G(n) = BOn есть К. п. для группы On(piV(n, k)=0 при i<k-1 и piV (п) = 0 для всех i). Многообразие Грассмана (пространство с фиксированной ориентацией) приводит аналогично к К. п. ==BSOn для группы SOn. К. п. групп BUn и BSUn строятся так же, с той разницей, что здесь рассматриваются комплексные многообразия Грассмана. Для любого О n- расслоения ( Е, р, В )(В- клеточное разбиение) существует отображение f : при к-ром индуцированное расслоение над Визоморфно ( Е, р, В). В случае, когда В- гладкое га-мерное многообразие, а главное О n -расслоение ( Е, р, В )ассоциировано с касательным векторным расслоением к В, построение отображения f особенно просто: многообразие Ввкладывается в евклидово пространство Rn+k при достаточно большом ки полагается f(x),совпадающим с n-мерным подпространством в Rn+k, к-рое получается сдвигом касательного пространства к В в точке х. Многообразия Грассмана дают удобный способ конструкции К. п. для векторных расслоений. Имеются также конструкции, позволяющие функториально строить К. п. для любой топологич. группы. Наиболее употребительная из них — конструкция Милнора wG (см. Главное расслоение), причем расслоение wG универсально в более широкой категории всех нумерируемых G-расслоений над произвольным топологич. пространством. Важную роль играют К. п. для сферических расслоений BGn над клеточным разбиением В;для построения пространств BGn (и BSGn для ориентированных сферич. расслоений) конструкция Милнора не пригодна, так как множество гомотопич. эквивалентностей не группа, а H-пространстпо. Явная конструкция этих пространств изложена в [2]. Существуют также К. п. ВРl п и ВТор п для кусочно линейных и топологич. микрорасслоений. Имеется естественное отображение соответствующее прибавлению к векторному расслоению одномерного тривиального расслоения. Отображение это можно считать вложением, так что имеет смысл объединение в топологии индуктивного предела. Совершенно аналогично строятся пространства ВSO, BU, BSU, BG, BSG, BPl, ВТор и т. д. Это — К. п. для классов стационарной эквивалентности расслоений, заданных над связными конечными клеточными разбиениями. Все эти пространства имеют структуру H-пространств, связанную с операцией суммы Уитни расслоений. Термин "К. п." употребляется не всегда в связи с расслоениями. Иногда К. п. наз. представляющее пространство (объект) для произвольного представимого функтора Т:гомотопич. категории в категорию множеств. Примером такого К. п. является пространство ВГ q, классифицирующее в нек-ром смысле слоения коразмерности qна многообразии, или, более общо, q-структуры Хефлигера на произвольном топологич. пространстве. Лит.:[1] Xьюзмоллер Д., Расслоенные пространства, пер. с англ., М., 1970; [2] Бордман Дж., Фогт Р., Гомотопически инвариантные алгебраические структуры на топологических пространствах, пер. с англ., М., 1977. А. Ф. Харшиладзе.