Кэмпбелла — Хаусдорфа Формула

Формула для вычисления выражения в алгебре формальных степенных рядов от некоммутирующих ассоциативных ии v. Более точно, пусть А — свободная ассоциативная алгебра с единицей над полем Q со свободными образующими ии v,a L — ее подалгебра Ли, порожденная этими же элементами относительно операции коммутирования и пусть — пополнения алгебр Аи Lстепенными рядами элементов из А и L. Тогда отображение является непрерывной биекцией алгебры на мультипликативную группу где — совокупность рядов без свободного члена. Обратным к этому отображению является отображение Ограничение отображения ехр на является биекцией алгебры на группу Это позволяет ввести групповую операцию на множестве элементов алгебры Ли причем в получаемой таким образом группе подгруппа, порожденная элементами uи v, оказывается свободной. К.- X. ф. дает выражение для uov в виде степенного ряда от u и v: или (в терминах присоединенного представления (ad x)(y)=[x, у]). Здесь означает суммирование по суммирование по Первым задачу о разыскании выражения wрассмотрел Дж. Кэмпбелл [1]. Ф. Хаусдорф [2] доказав, что wвыражается через коммутаторы от элементов uи v, т. е. принадлежит алгебре Ли Если — нормированная алгебра Ли над полным недискретно нормированным полем К, то ряд (*), где и,. сходится в окрестности нуля. Это позволяет определить в окрестности нуля пространства структуру локальной банаховой группы Ли над К(в ультраметрическом случае — структуру банаховой группы Ли), алгеброй Ли к-рой является Этот факт дает одно из доказательств существования локальной группы Ли с заданной алгеброй Ли (3-я теорема Ли). Обратно, во всякой локальной группе Ли умножение в канонических координатах задается К.- X. ф. Лит.: [1] С а т р Ь е l l J. Е., "Proc. London Math. Soc.", 1897, v. 28. p. 381-90; 1898, v. 29, p. 14-32; [2] H a u s d о r f tF., "Leipziger Ber.", 1906, Bd 58, S. 19-48; [3] Бурбаки H., Группы и алгебры Ли. Алгебры Ли, свободные алгебры Ли и группы Ли, пер. с франц., М., 1976; [4] С е р р Ж.-П., Алгебры Ли и группы Ли, пер. с франц., М., 1969; [5] Теория алгебр Ли. Топология групп Ли. Семинар "Софус Ли", пер. с франц., М., 1962; [6] Магнус В., К а р р а с А., С о л и т э р Д., Комбинаторная теория групп, пер. с англ., М., 1974. Ю. А. Бахтурин.