Кэлерово Многообразие

Комплексное многообразие, на к-ром можно ввести Кэлера метрику. Иногда такие многообразия на. К. м. Мназ. многообразием Ходжа, если кэлерова метрика на Мявляется метрикой Ходжа. Всякое проективное алгебраич. многообразие без особых точек является многообразием Ходжа относительно метрики, индуцированной метрикой Фубини — Штуди. Обратно, всякое компактное комплексное многообразие М, снабженное кзлеровой метрикой Ходжа h, допускает биголоморфное вложение в комплексное проективное пространство, причем метрика на М, индуцированная метрикой Фубини — Штуди, имеет вид kh, где k — натуральное число [1], [3] (теорема Кодаиры о проективном вложении). Таким образом, компактное комплексное многообразие Мизоморфно проективному алгебраич. многообразию тогда и только тогда, когда М — многообразие Ходжа Другая форма этого критерия состоит в том что компактное комплексное многообразие Мявляется проективным алгебраич. многообразием тогда и только тогда, когда на Мсуществует отрицательное расслоение на комплексные прямые. Теорема Кодаиры допускает сообщение на комплексные пространства (см. [4], [6]). Компактные К. м., не являющиеся многообразиями Ходжа, можно найти среди двумерных комплексных торов. Напр., этим свойством обладает тор где Г — решетка, натянутая на векторы (1,0), (0,1), (см. [1], [3]). Другое необходимое и достаточное условие проективности re-мерного компактного кэлерова многообразия Мсостоит в наличии на М п алгебраически независимых мероморфных функций. Всякое некомпактное полное К. м., имеющее положительную секционную кривизну, является многообразием Штейна. Тем же свойством обладает любое одно-связное полное К. м. неположительной секционной кривизны [7]. Лит.:[1] Уэллс Р., Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях, пер. с англ., М., 1976; [2] В е й л ь А., Введение в теорию кэлеровых многообразий, пер. с франц., М., 1961; [3] Чжэнь Шэн-шэнь, Комплексные многообразия, пер. с англ., М., 1961; [4] Ганнинг Р., Росси X., Аналитические функции многих комплексных переменных, пер. с англ., М., 1969; [5] Hodge W. V. D., The theory and applications of harmonic integrals, 2 ed., Camb., 1952; 16] Грауэрт Г., в кн.: Комплексные пространства. Сб. пер., М., 1965, с. 45-104; [7] G r е е n е R. Е., W u H., в сб.: Value-Distribution Theory. Part A, N. Y., 1974, p. 145-67. А. Л. Онищик.