Кельвина Преобразование

Преобразование функций, определенных в областях евклидова пространства Rn,при к-ром гармонические функции переходят в гармонические. Получено У. Томсоном (лордом Кельвином, [1]). Если и(х)- гармонич. функция в области то ее К. п. есть функция гармоническая в области D*, получающейся из Dинверсией относительно сферы , т. е. отображением пространства Rn, определяемым формулами где х=( х 1, ..., х п), При инверсии бесконечно удаленная точка беск. компактифицированного по Александрову пространства Rn переходит в начало координат О, и наоборот. При К. п. гармонич. функции и(х). в областях D, содержащих оо, регулярные в т. е. такие, что переходят в гармонич. функции v(у). в ограниченных областях D*, содержащих начало координат О, причем v(0) = 0. Благодаря этому свойству, К. п. позволяет сводить внешние краевые задачи теории потенциала к внутренним, и наоборот (см. [2], [3]). Кроме К. п., гармоничность функций в Rn, сохраняется при аналитич. реобразованиях вида v(y) -j(y) и(y(у))только в случае, когда j(y)=1 и y есть отображение подобия, движение или симметрия относительно плоскости; при n=2 этим свойством обладает широкий класс конформных отображений y. Лит.:[1] Thomson W., "J. math, pures et appl.", 1847, v. 12, p. 256-64; [2] Владимиров В. С, Уравнения математической физики, 3 изд., М., 1976, гл. 5; [3] Брело М., Основы классической теории потенциала, пер. с франц., М., 1964. Е. Д. Соломенцев.