Кавагути Пространство

Гладкое n-мерное многообразие Vn, в к-ром элемент дуги ds регулярной кривой x=x(t),выражается формулой: причем метрическая функция Fподчиняется условиям Цермело:где Условия (2) обеспечивают независимость элемента дуги ds от параметризации кривой x=x(t). Общая теория К. п. впервые изложена А. Кавагути (см. [1]). Основанием для рассмотрения К. п. послужило то, что элементы дуги вида (1) встречались в различных однородных пространствах (напр., афинная дуга, проективная дуга). Впоследствии было установлено (см. [2]), что в любом однородном пространстве существует инвариантная метрика Кавагути (1), группа автоморфизмов к-рой совпадает с группой преобразований однородного пространства. Основы общей теории К. п. развивались на формальном пути обобщения тензорного аппарата и параллельного перенесения. А. Кавагути в качестве основного пространства рассматривал расслоенное пространство, базой к-рого является пространство линейных элементов ( х i, x(s)i), s=l,2,. . ., q, порядка q=2p- 1, а слоями — n-мерные векторные пространства Т n, касательные к Vn. Ковариантное дифференцирование контравариантных векторов Vi(xk, x(s)k) определяется с помощью операторов ковариантного дифференцирования где зависят от линейного элемента порядка q=2р-1. Эти операторы могут быть построены с помощью трехкратного продолжения метрич. функции и определяемого ею метрич. тензора qij, зависящего также от линейного элемента порядка 2р-1. Так, построенная общая теория К. п. не получила глубокого развития отчасти ввиду того, что порядок qбазисного пространства линейных элементов оказался выше, чем порядок рпространства, на к-ром задана метрич. функция Fи на к-ром должны определяться все дифференциальные инварианты К. п. Другие возможности исследования К. п. основаны на современной теории расслоенных пространств, теории струй и теории нелинейных связностей. На этом пути с применением дифференциально-алгебраич. метода продолжений и охватов для широкого класса К. п. найдена нек-рая редуктивная линейная связность в подходящим образом подобранном расслоенном пространстве, базой к-рого служит пространство линейных элементов порядка р. Структурные уравнения форм этой связности дают полную систему тензорных инвариантов К. п., на основе к-рой формулируются инвариантные признаки нек-рых важных классов К. п. В дифференциальной геометрии обобщенных пространств большое место занимает исследование специальных К. п. с метрикой вида где А i и В- функции х i и х'i, что сближает такие пространства с финслеровыми пространствами. В этом случае общая теория А. Кавагути оказывается неприменимой, так как метрич. тензор gij становится вырожденным. Поэтому вводится несимметрич. тензор к-рый в общем случае не вырожден. В отличие от таких пространств, К. п. общего типа представляют собой дифференциально-геометрич. структуру высшего порядка. Изучение К. п. служит также для поиска геометрич. подходов к исследованию вариационной задачи для интегралов вида Лит.:[1] Кawguсhi A., "Proc. Imp. Acad. Tokyo", 1937, v. 13, p. 237-40; [2] Лосик М. В., в кн.: Тр. семинара по векторному и тензорному анализу, 1963, в. 12, с. 213-37; [3] Близникас В. И., в кн.: Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. 1967, М., 1969, с. 73-125. Л. Е. Евтушик.