Картана Матрица

1) К. 2) К. м. конечномерной ассоциативной алгебры Ас единицей над полем к- матрица ( с ij), i, j=1,..., s, определяемая полным набором N1,. .., Ns конечномерных неприводимых левых А-модулей. А именно, с ij есть кратность вхождения Nj в композиционный ряд такого неразложимого проективного левого А-модуля Р i, для к-рого Hom ( Р i, Ni) неравно 0. Модуль Р i существует для каждого Ni и определен однозначно с точностью до изоморфизма. В некоторых случаях К. м. Соказывается симметричной, положительно определенной и даже C=DTD, где D- целочисленная, не обязательно квадратная матрица (Т — знак транспонирования). Такова К. м. групповой алгебры A = kG конечной группы Gнад полем кхарактеристики р>0 (см. [1]), причем Р 1,. . ., Ps в этом случае — полный набор неизоморфных главных неразложимых левых A -модулей, т. е. неразложимых А-модулей, в прямую сумму к-рых раскладывается левый A-модуль А. Другой пример, когда такое равенство для К. м. имеет место: А- ограниченная универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики р>0, полученной из полупростой комплексной алгебры Ли редукцией в характеристику р(см. [2]). Лит.:[1] Кэртис Ч., Райнес И., Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр, пер. с англ., М., 1969; [2] Humphreys J. E., "J. Algebra", 1971, v. 19, p. 51 — 79. В. Л. Попов.