Каратеодори — Фейера Задача

Задача о продолжимости многочлена от z до степенного ряда, представляющего собой регулярную в круге |z|<1 функцию, реализующую наименьшее значение супремума модуля в круге |z|<1 в классе всех регулярных в |z|<1 функций, к-рые имеют начальным отрезком своего разложения в ряд Маклорена данный многочлен. Решение этой задачи дается следующей теоремой. Теорема Каратеодори-Фейера [1]. Пусть — данный многочлен,Существует единственная рациональная функция R(z) = B(z, с 0, с 1,..., cn-1) вида регулярная в |z|<1 и имеющая в своем разложении в ряд Маклорена ппервых коэффициентов, равных соответственно с 0, с 1, ..., cn-1. Эта функция, и только она, реализует наименьшее значение в классе всех регулярных в круге |z|<l функций f(z) вида и указанное наименьшее значение равно l=l( с 0, с 1,...,с n-1). Число l( с 0, ct,...,cn-1) paвно наибольшему положительному корню уравнения 2n-й степени Если с 0, с 1,..., с n-1 — действительные числа, то l( с 0, cl. ..., cn-1) является наибольшим из абсолютных значений корней уравнения n-й степени Лит.:[1] Caratheodory С, Fejer L. "Rend Circolo mat. Palermo", 1911, v. 32, p. 218-39; [2] Голузин Г. М., Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1966. Г. В. Кузьмина.