Каноническое Погружение

Отображение алгебраич. многообразия Xв проективное пространство с помощью степеней канонического класса Кх (см. Линейная система). Пусть X- неособая проективная кривая рода g;отображение, определяемое классом пКу, будет вложением для нек-рого птолько, если g>1. Причем можно взять n=1 для негиперэллиптич. кривых, n=2 для гиперэллиптич. кривых рода g>2 и n=3 для кривых рода g=2. Эти результаты используются для классификации алгебраич. кривых рода g>l (см. Каноническая кривая): Аналогичные вопросы для многообразий размерности больше единицы рассматривались -в основном для поверхностей. При этом роль кривых рода g>1 играют поверхности, у к-рых нек-рая степень пК X канонич. класса дает бирациональное вложение поверхности в проективное пространство. Они наз. поверхностями общего типа; основной результат об этих поверхностях состоит в том, что для них уже класс 5KX определяет регулярное отображение в проективное пространство, являющееся бирациональным вложением. Напр., неособые поверхности степени тв Р 3 являются поверхностями общего типа, если m>4. В этом случае бирациональное вложение дает уже канонический класс KX. Если KXKX>2 и Pg(X)>1 (здесь KXKX- индекс самопересечения, a pg(X)- геометрический род), то вместо 5KX можно взять даже 3KX. Поверхности, для к-рых никакая степень пKX не дает вложения, разбиваются на следующие пять семейств: рациональные поверхности, линейчатые поверхности, абелевы многообразия, КЗ-поверхности и поверхности с пучком эллиптич. кривых. При этом рациональные и линейчатые поверхности — аналоги рациональных кривых, а остальные три семейства — аналоги эллиптич. кривых. Получены первые обобщения этих результатов и на многообразия произвольной размерности [5]. Лит.:[1] Шафаревич И. Р., Основы алгебраической геометрии, М., 1972; [2] Severi F., Vorlesungen uber algebraische Geometrie, Lpz., 1921; [3] Алгебраические поверхности, M., 1965 (Тр. Матем. ин-та АН СССР, т. 75); [4] Воmbieri E., Husemoller D., "Proc. Sympos. Pur. Math.", 1975, v. 29, p. 329-420; [5] Ueno К., в кн.: Lecture Notes in Mathematics, v. 412, В.-Hdlb.-N.Y., 1974, p. 288-332. A. H. Паршин.