Изометрический Оператор

Отображение Uметрич. пространства (X,rX). в метрич. пространство (Y, rY). такое, что для любых Если Xи Y — действительные линейные нормированные пространства, U(X)=Y и U(0)=0, то U- линейный оператор. И. о. Uотображает Xна U(X)взаимно однозначно, так что существует обратный оператор U-1, также являющийся И. о. Оператор, сопряженный с линейным И. о., действующим из одного линейного нормированного пространства в другое, также будет изометрическим. Линейный И. о., отображающий Xна все У, наз. унитарным оператором. Условием унитарности линейного оператора, действующего в гильбертовом пространстве Н, является равенство U*=U-1. Спектр унитарного оператора расположен на единичной окружности, и имеет место представление где — соответствующее разложение единицы. И. о., определенный на подпространстве гильбертова пространства со значениями в таком же пространстве, может быть продолжен до унитарного, если ортогональные дополнения области его определения и области его значений имеют одинаковую размерность. Каждому симметрич. оператору Ас областью определения соответствует И. о. наз. преобразованием Кэли оператора А. Если А- самосопряженный оператор, то оператор UA унитарен. Операторы Аи В с общей областью определения Dназ. метрически равными, если В=UA, где U- И. о., то есть если || Вx||= ||Ax|| для всех Такие операторы обладают рядом общих свойств. Для любого ограниченного линейного оператора А, действующего в гильбертовом пространстве, существует один и только один положительный метрически равный ему оператор, определяемый равенством Лит.:[1] Ахиезер Н. И., Глазман И. М., Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, 2 изд., М., 1966; [2] Плеснер А. И., Спектральная теория линейных операторов, М., 1965; [3] Мazur S., Ulam S., "С.r. Acad. sci.", 1932, t. 194, p. 946 — 48. В. И. Соболев.