Изогения

Эпиморфизм групповых схем с конечным ядром. Морфизм групповых схем f : над базисной схемой S наз. изогенией, если f сюръективен и его ядро Кег(f) есть плоская конечная групповая S-схема. В дальнейшем предполагается, что S есть спектр поля кхарактеристики Пусть Gгрупповая схема конечного типа над kи Нее конечная групповая подсхема. Тогда фактор G|H существует, а естественное отображение является И. Обратно, если f : — И. групповых схем конечного типа и H=Кеr(f), то G' = G|H. Для любой И. f :связных коммутативных групповых схем конечного типа существует И. g: такая, что композиция gof совпадает с гомоморфизмом п G умножения на пгрупповой схемы G. Композиция И. является И. Две групповые схемы Gи G' наз. изогенными, если существует И. f : f: наз. сепарабельной, если Кег(f) является этальной групповой схемой над к. Последнее эквивалентно тому, что fесть конечное этальное накрытие. Примером сепарабельной И. служит гомоморфизм п G, где ( п, р)=1. Если к- конечное поле, то каждая сепарабельная И. связных коммутативных групповых схем конечного типа f :пропускается через И. р: где р = F-idG, a F — Фробениуса эндоморфизм. Примером несепарабельной И. является гомоморфизм умножения на n=р r абелева многообразия А. Локализация аддитивной категории (k)абелевых многообразий над полем котносительно И. определяет абелеву категорию М(k), ее объекты наз. абелевыми многообразиями с точностью до изогении. Каждый такой объект можно отождествить с абелевым многообразием А, а морфизмами в М(k)служат элементы векторного пространства над полем рациональных чисел И. f : A->A' определяет изоморфизм соответствующих объектов в М(k). Категория М(k)полупроста: каждый ее объект изоморфен произведению неразложимых объектов. В случае, когда k- конечное поле, имеется полное описание категории М(k)(см. [4]). Понятие И. определяется также и для формальных групп. Морфизм f :формальных групп над полем kназ. И., если его образ в факторкатегории Ф (k)категории формальных групп над kотносительно подкатегории артиновых формальных групп является изоморфизмом. И. групповых схем определяет И. соответствующих формальных пополнений. Имеется описание категории Ф (k)формальных групп с точностью до И. (см. [1], [5]). Лит.:[1] Манин Ю. И., "Успехи матем. наук", 1963, т. 18, в. 6, с. 3-90; [2] Мамфорд Д., Абелевы многообразия, пер. с англ., М., 1971; [3] Серр Ж., Алгебраические группы и поля классов, пер. с франц., М., 1968; [4] Тейт Дж., "Математика", 1970, т. 14, в. 6, с. 129-37; [5] Dieudоnne J., "Comment, math, helv.", 1954, t. 28, № 1, p. 87-118. И. В. Долгачев.