Исключения Теория

Теория исключения неизвестных из системы алгебраич. уравнений. Более точно, пусть имеется система уравнений где fi — многочлены с коэффициентами из заданного поля Р. Задача исключения неизвестных х 1 ,..., х k из системы (1) (неоднородная задача теории исключения) может быть сформулирована следующим образом: найти проекцию множества решений системы (1) на пространство координат х k+1, ..., х п. В том случае, когда каждое из уравнений однородно по совокупности неизвестных х 1, . .., х k, рассматривается также однородная задача теории исключения (неоднородная задача в этом случае тривиальна): найти проекцию на пространство координат х k+1,..., х п множества тех решений системы (1), в к-рых не все неизвестные x1, ..., xk равны нулю. Неоднородная задача И. т. может также трактоваться как нахождение условий на коэффициенты системы алгебраич. уравнений, при к-рых эта система совместна, а однородная задача' И. т.- как нахождение условий на коэффициенты , системы однородных алгебраич. уравнений, при к-рых эта система имеет ненулевое решение. Основные результаты И. т. заключаются в том, что если поле Ралгебраически замкнуто, то решение однородной задачи И. т. является алгебраическим множеством, т. е. множеством решений системы алгебраич. уравнений, а решение неоднородной задачи — конструктивным множеством в смысле алгебраич. геометрии, т. е. конечным объединением множеств вида где Ми Nсуть алгебраич. множества. В нек-рых простейших случаях решение задач И. т. известно в явном виде.1) Пусть рассматриваемая система уравнений линейна и однородна относительно х 1,..., х k, т. е. имеет вид где а ij- многочлены от xk+1, ..., х п. При заданных значениях х k+1, . .., х п система (2) имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы А= (я/у) меньше к(см. Линейное уравнение). Решением однородной задачи И. т. в этом случае будет множество в пространстве координат Xk+1,. . ., х п, выделяемое условиями равенства нулю всех миноров порядка кматрицы А.2) Пусть рассматриваемая система уравнений линейна относительно х 1, ..., х k, т. е. имеет вид где aij, bi — многочлены от х k+1,. . ., х п. Пусть — матрица, получаемая приписыванием к матрице А=(aij )столбца (bi). При заданных значениях х k+1,..., х п система (3) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы Аравен рангу матрицы А. Следовательно, результатом исключения x1, ..., х п из системы (3) является где Mr- множество точек (xk+1, ..., х п), в к-рых а Nr- множество точек, в к-рых rkА<r (множества Mr и Nr алгебраические).3) Пусть k=2, поле Ралгебраически замкнуто и рассматриваемая система состоит из двух уравнений, однородных по х 1, х 2: где а 0, a1, . . ., а п, b0, b1,. .., b т- многочлены от х 3, ..., xn. При заданных значениях х 3,. . ., х п система (4) имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда равен нулю результант Это и дает решение однородной задачи И. т. в рассматриваемом случае.4) Пусть к=1, поле Ралгебраически замкнуто и рассматриваемая система состоит из двух уравнений: где а 0, a1, ..., а п, b0, b1, ..., b т- многочлены от х 2, . .., х п. При заданных значениях х 2,..., х п, не обращающихся в нуль а 0 или b0, система (5) совместна тогда и только тогда, когда Если же а 0=b0=0, то следует рассмотреть и т. д. Это позволяет описать в явном виде результат исключения х 1 из системы (5). Исключение неизвестных из произвольной системы алгебраич. уравнений может быть проведено последовательно (т. е. исключается сначала одно неизвестное, затем другое и т. д.) при помощи описываемых ниже "элементарных преобразований". Поскольку после исключения одного неизвестного получается, вообще говоря, не алгебраическое, но конструктивное множество, то следует рассмотреть задачу проектирования на пространство координат х 2,..., х п произвольного конструктивного множества в Р п. Всякое конструктивное множество может быть представлено как объединение множеств решений совокупности систем алгебраич. уравнений и неравенств. (Под алгебраич. неравенством здесь понимается неравенство вида где f — многочлен.) Элементарным преобразованием такой совокупности наз. преобразование одного из следующих типов: в одной из систем к одному из уравнений прибавляется другое, умноженное на многочлен; в системе, содержащей неравенство f неравно0, одно из уравнений умножается на f; в одной из систем к одному из неравенств прибавляется одно из уравнений, умноженное на многочлен; одна из систем заменяется на две, получаемые из нее приписыванием уравнения f=0и неравенства f неравно 0 соответственно (f — нек-рый многочлен); в одной из систем два неравенства заменяются их произведением. Элементарные преобразования не изменяют объединения множеств решений систем, входящих в данную совокупность. Применяя элементарные преобразования, можно привести любую совокупность систем алгебраич. уравнений и неравенств с неизвестными х 1, ..., х п к такому виду, когда в каждую из систем входит не более одного уравнения или неравенства, содержащего х 1 , причем наряду с таким уравнением f=0 или неравенством в эту же систему входит неравенство где f0 — многочлен от x2, ..., х п, являющийся старшим коэффициентом в разложении f по степеням х 1. Если поле Ралгебраически замкнуто, то, отбросив в системах полученной совокупности уравнения и неравенства, содержащие х 1, получают совокупность систем алгебраич. уравнений и неравенств с неизвестными х 2,...., х п, к-рая и задает проекцию множества Xна пространство координат х 2,..., х п. Последовательное исключение неизвестных с помощью элементарных преобразований позволяет в принципе свести решение произвольной системы алгебраич. уравнений с пнеизвестными к решению ряда алгебраич. уравнений с одним неизвестным. Лит.:[1] Ходж В., Пидо Д., Метод алгебраической геометрии, пер. с англ., т. 1, М., 1954; [2] Ван-дер-Варден Б. Л., Алгебра, пер. с нем., М., 1976. Э. Б. Винберг.