Искажения Теоремы

При конформных отображениях плоских областей — теоремы, характеризующие искажение линейных элементов в данной точке области, а также искажение области и ее подмножеств, и искажение границы области при конформном отображении. К И. т. в первую очередь относятся оценки модуля производной функции в данной точке области. Так, И. т. в классе е функций мероморфных и однолистных в области |z|>1, состоит в утверждении, что при любом z0, имеют место точные неравенства Равенство в левой части (1) имеет место только для функции а в правой части — только для функции где a0 и b0- произвольные фиксированные числа. Функция w=F1(z) отображает область |z|>1 на плоскость wс разрезом по отрезку, соединяющему точки и а функция w-F2(z) отображает область |z| >1 на плоскость wс разрезом по дуге окружности |w-b0|=|z0| со средней точкой b0-z0. Неравенства (1) легко получаются из неравенства Грунского определяющего область значений функционала In F'(z0 )на классе 2. С другой стороны, неравенства (1) являются прямым следствием теоремы Голузина: если то для любых точек z1 и z2, |z1|=|z2|=r, справедливо точное неравенство причем знак равенства имеет место для функции F(z)=z+е ia/z, где а — действительная постоянная. Из неравенства (2) следует также теорема искажения хорд (см. [1]): если функция то для любых точек z1 и z2 на окружности |z|=r>1 справедливо точное неравенство при этом знак равенства имеет место только для функции где С- постоянная, Известны различные обобщения неравенства (2), определяющие области значений соответствующих функционалов и составляющие усиления И. т. в классе 2 и его подклассах (см., напр., [1]). В классе S функций регулярных и однолистных в круге |z|<1, при 0<|z0| <1 справедливы следующие точные неравенства: Оценки (4) и (5) следуют из оценок (3). Совокупность неравенств (3) — (5) наз. И. т. в классе S. Нижние границы в оценках (3) — (5) реализуются только функцией верхние границы — только функцией " где a=argz0. Функции w=fa(z),. известные как функции Кёбе, отображают круг |z|<1 на плоскость wс разрезом по лучу arg w=a, и являются экстремальными в ряде задач теории однолистных функций. Имеет место теорема Кёбе об 1/4:область, являющаяся образом круга |z|<l при отображении w=f(z),всегда содержит круг причем, точка принадлежит границе этой области толкко для функции f(z)=fa(z). Оценки (3) — (5) являются простыми следствиями результатов об областях значений функционалов на классе S(см. [2]). Пусть е 0- класс функций при Имеет место следующая связь между функциями классов Sи е 0: если то F(z)=и обратно, если то Поэтому область значений к.-л. функционала (или системы функционалов) на классе S определяет область значений соответствующего функционала (или системы функционалов) на классе е 0, и обратно. Напр., из области значений функционала 0<|z0| <1, на классе Sлегко получается область значений функционала на классе е 0. Для функций, регулярных и ограниченных в круге, примерами И. т. являются Шварца лемма (см. [1]) и ее обобщения, а также следующая теорема Лёвнера о граничном искажении: для функции j(z), регулярной в круге |z| <1, j(0) = 0 |j(z)|<1 в |z|<l и |j(z)| = 1 на дуге Аокружности |z| = i, длина образа дуги Ане меньше длины самой дуги А, и равенство длин этих дуг имеет место только для функции ф(г) = е iaz, где a — действительное число. В классе функций, однолистных в данной многосвязной области, минимум (соответственно максимум) модуля производной функции в данной точке области реализуется только отображениями этой области на область с радиальными (соответственно с концентрическими круговыми) разрезами. Для случая неограниченных отображений имеет место следующая теорема. Пусть D- конечносвязная область плоскости z, содержащая бесконечно удаленную точку, е(D)- класс функций F(z), однолистных в D и имеющих в окрестности разложение — точка области D. Пусть Fq(z), Fq(z0)=0, есть функция класса е(D), отображающая Dна плоскость с разрезами по дугам логарифмич. спиралей, образующих угол q с лучами, выходящими из начала (достаточно считать при q=0 логарифмич. спираль вырождается в луч, выходящий из начала, а при — в окружность с центром в начале), где ветви корней выбраны так, что коэффициенты при z в разложениях Лорана функций р(z) и q(z)в окрестности равны 1. Тогда область значений функционала ln F'(z0 )на классе 2 (D)представляет собой круг, определяемый неравенством: причем каждой точке границы этого круга соответствует только функция F(z)=Fq(z)+C с надлежащим q, С- постоянная. В частности, справедливы точные неравенства: Лит.:[1] Голузин Г. М., Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1966; [2] Дженкинс Д. А., Однолистные функции и конформные отображения, пер. с англ., М., 1962; [3] Черников В. В., в кн.: Итоги исследований по математике и механике за 50 лет. 1917-1967, Томск, 1967, с. 23-51; [4] Базилевич И. Е., в кн.: "Математика в СССР за 40 лет", М., 1959, с. 444-72; [5] Белинский П. П., Общие свойства квазиконформных отображений, Новосиб., 1974; [6] КuhnauR., "Math. Nachr.", 1971, Bd 48, S. 77-105.E. Г. Голузина.