Инвариантное Среднее

На группе или полугруппе G, точнее, инвариантное среднее на пространстве Xфункций на G,- непрерывный линейный функционал тна замкнутом подпространстве Xпространства В(G)всех ограниченных комплекснозначных функций на G, снабженном равномерной нормой, содержащем постоянные функции и инвариантном относительно операций комплексного сопряжения, причем ти Xудовлетворяют следующим условиям: 1) пространство Xинвариантно относительно левого сдвига, т. е. если то и где xf(t)=f(xt )для всех т — среднее на X, т. е.для всех и inf m(f)sup для всех действительнозначных 3) m(xf)=m(f) для всех и всех В этом случае И. с. тназ. левоинвариантным средним; аналогично определяется правоинвариантное среднее и двустороннее И. с. на G. Если на X = B(G)существует двустороннее И. с, то группа Gназ. аменабельной. Аменабельность группы Gсвязана с существованием инвариантных мер относительно нек-рых групп преобразований, связанных с G(см. [1]). Если G- локально компактная топологич. группа, то на пространствах почти периодич. функций и слабо почти периодич. функций на Gсуществует нетривиальное левое И. с. С другой стороны, следующие условия эквивалентны: 1) существует левое И. с. на пространстве 2) существует левое И. с. на пространстве X = CB(G)ограниченных непрерывных комплексных функций на G;3) существует левое И. с. на пространстве Х = UCB(G)двусторонне непрерывных ограниченных комплексных функций; 4) существует двустороннее И. с. на одном из пространств СВ (G), UCB(G); 5) группа Gне имеет дополнительной серии представлений; 6) носитель регулярного представления группы Gсовпадает с дуальным пространством этой группы; 7) единичная функция на группе Gможет быть на любом компакте равномерно аппроксимирована конечными линейными комбинациями матричных элементов регулярного представления группы G;8) если m — левая мера Хаара на G,v — такая ограниченная комплексная регулярная борелевская мера на G, что для всех финитных непрерывных функций f на G, то 9) для нек-рого q>1,любого е>0 и любого компакта существует неотрицательная функция удовлетворяющая условию ||xj-j||<e для всех 10) предыдущее условие выполняется для всех q>1,11) для любого e>0 и любого компакта существует такое борелевское множество что иm-1(U).m(xUDU)<e для всех 12) любое непрерывное действие группы Gна компактном выпуклом множестве в локально выпуклом пространстве непрерывными аффинными преобразованиями имеет неподвижную точку. Локально компактная группа, удовлетворяющая любому из равносильных условий 1) — 12), наз. аменабельной. Непрерывные образы аменабельных групп, замкнутые подгруппы аменабельных групп, расширения аменабельных групп с помощью аменабельных, индуктивные пределы аменабельных групп — аменабельны. Равномерно ограниченное представление аменабельной группы в гильбертовом пространстве эквивалентно унитарному представлению в том же пространстве. Нек-рые из перечисленных результатов могут быть распространены на случай общих топологич. групп, допускающих И. с. на пространстве ограниченных непрерывных комплексных функций. Теория И. с. и аменабельных групп имеет существенные приложения в теории динамич. систем, эргодич. теории, теории алгебр Неймана и в абстрактном гармонич. анализе. Лит.:[1] von Neumann J., "Fundam. math.", 1929, v. 13, p. 73-116; [2] Грин ли ф Ф., Инвариантные средние на топологических группах и их приложения, пер. с англ., М. 1973; [3] Диксмье Ж., С*-алгебры и их йредставления, пер. с франц., М., 1974. А. И. Штерн.