Инвариантная Метрика

Риманова метрика mна многообразии М, не изменяющаяся при всех преобразованиях из данной группы Ли G преобразований. Сама группа G при этом наз. группой движений (изометрий) метрики m(или риманова пространства ( М, т)). Группа Ли G преобразований многообразия М, действующая на Мсовершенно (т. е. так, что отображение является собственным), обладает инвариантной метрикой. Обратно, группа всех движений любой римановой метрики (а также любая ее замкнутая подгруппа) является совершенной группой Ли преобразований. В этом случае стабилизатор любой точки — компактная подгруппа в G. Если сама группа G компактна, то G-инвариантную метрику т 0 на Мможно построить, усреднив произвольную метрику тна Мпо группе G: где интеграл берется по мере Хаара. В случае, когда группа Gтранзитивна, многообразие Мотождествляется с пространством смежных классов G/H группы Gпо стабилизатору фиксированной точки и для существования G-инвариантной метрики на Мнеобходимо и достаточно, чтобы линей ная группа изотропии (см. Изотропии представление )имела компактное замыкание в (в частности, достаточно, чтобы Нбыла компактна). В этом случае пространство G/H редуктивно, т. е. алгебра Ли группы Gдопускает разложение где — подалгебра, отвечающая — подпространство, инвариантное относительно AdH, где Ad — присоединенное представление группы G. Если отождествить тс Т х0 (М), то любая G-инвариантная метрика mна Мполучается из нек-рой AdН-инвариантной евклидовой метрики на следующим образом: где — такой элемент, что gx0=x. Тензорные ноля, связанные с G-инвариантной метрикой (тензор кривизны, его ковариантные производные и т. п.), суть G-инвариантные поля. В случае однородного пространства M=G/H их значение в точке х 0 выражается через операторы Номидзу задаваемые формулой где X*- поле скоростей однопараметрич. группы преобразований exp tX, -оператор ковариантного дифференцирования римановой связности, а — оператор производной Ли. В частности, для оператора кривизны Riem (X, Y )и для секционной кривизны К( Х, Y )по направлению, задаваемому ортонормальным базисом, справедливы следующие формулы: где Zm- проекция на вдоль Операторы Номидзу выражаются в терминах алгебры Ли и метрики формулой где Из определения операторов Номидзу следует, что их действие на G-инвариантные поля отличается только знаком от действия ковариантной производной в точке х 0. Если риманово пространство (G/H, m )не содержит плоских сомножителей в разложении де Рама, то линейная алгебра Ли, порожденная операторами Номидзу совпадает с алгеброй голономии пространства (GlH, m )в точке х 0. Описание геодезических инвариантной метрики на однородном пространстве можно дать следующим образом. Пусть сначала M=G — группа Ли, действующая на себе при помощи левых сдвигов. Пусть gt- геодезическая левоинвариантной метрики mна группе Ли G и — соответствующая ей кривая в алгебре Ли (годограф скорости). Кривая Xt удовлетворяет уравнению годографа где ad* X- оператор, сопряженный оператору присоединенного представления adX. Геодезическая gt восстанавливается по своему годографу скорости ct из дифференциального уравнения gt=ctXt (линейного, если группа G линейна) или из функциональных соотношений задающих первые интегралы этого уравнения. Таким образом, описание геодезических метрики mсводится к интегрированию уравнения годографа, к-рое иногда удается полностью проинтегрировать. Напр., в случае, когда метрика тинвариантна и относительно правых сдвигов, геодезические, проходящие через точку е, суть однопараметрич. подгруппы группы G. Такая метрика существует на любой компактной группе Ли. В случае произвольного однородного пространства M=G/H инвариантную метрику m на G можно "поднять" до такой левоинвариантной метрики тна G, что естественное расслоение риманова пространства (G, т)над римановым пространством (G/H, т )является римановым расслоением, т. е. при проектировании длина касательных векторов, ортогональных к слою, не меняется. Для этого достаточно продолжить метрику ( ,) на всю алгебру полагая и разнести ее левыми сдвигами до метрики тна G. Геодезические риманова пространства (G/H, т )являются проекциями ортогональных к слоям геодезических риманова пространства Поскольку функция на всегда является первым интегралом уравнения годографа (интегралом энергии), соответствующее уравнению векторное поле на касается сфер =const. Это влечет за собой полноту уравнения годографа, а тем самым и полноту любой инвариантной римановой метрики на однородном пространстве. Для псевдоримановых метрик свойство полноты, вообще говоря, уже не имеет места. Однако любая инвариантная псевдориманова метрика на компактном однородном пространстве полна. См. также Симметрическое пространство. Лит.:[1] Xелгасон С, Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, пер. с англ., М., 1964; [2] Петров А. 3., Новые методы в общей теории относительности, М., 1966; [3] Коbауаshi S., Nоmizu K., Foundation of differential geometry, v. 2, N.Y., 1969; [4] Коbауashi S., Transformation groups in differential geometry, B.-Hdlb.-N.Y., 1972; [5] Wolf J. A., Spaces of constant curvature, N. Y., 1967; [6] Lichnerowicz A., Geometrie des groupes de transformations, P., 1958. Д. В. Алексеевский.