Интерполирование

Интерполяция,- в простейшем, классическом смысле — конструктивное восстановление (быть может, приближенное) функции определенного' класса по известным ее значениям или значениям ее производных в данных точках. Пусть даны n+l точек сегмента D=[ а, b], причем и набор из n+1 чисел (не обязательно различных). Пусть известно, что нек-рая функция f(x) принадлежащая тому или иному фиксированному классу Кфункций, определенных во всяком случае на D (напр., где p п — множество всех алгебраич. многочленов степени или удовлетворяет системе соотношений: Точки xk, в к-рых задаются значения f(xk) = yk, наз. узлами интерполяции, или полюсами интерполяции для f. Естественно возникли главным образом из потребностей приближенных вычислений следующие две задачи, к-рые и явились отправными моментами развития всей теории И. А именно, спрашивается, как, обладая перечисленными выше сведениями (А) относительно f, можно с определенной точностью получить информацию: 1) о поведении f(x)на интервалах (xk-1, xk), k=i,2,. .., п, то есть между (лат. inter) полюсами xk, к=0,1,. . ., п, и 2) вне (лат. extra) сегмента [ х 0, xn], содержащего все полюсы Упомянутые здесь лат. слова inter и extra привели соответственно к образованию терминов в случае 1) задачи интерполирования (или интерполяции) функции fи в случае 2) задачи экстраполирования (или экстраполяции) функции f, к-рые впоследствии слились в одну проблему интерполирования (А). Задача (А), понимаемая как задача точного восстановления функции, имеет единственное решение, напр, в классе К=p п. Ее решением в p п является интерполяционный многочлен Лагранжа Однако, если f(x)принадлежит классу, в каком-то смысле "более обширному", чем p п, то интерполяционная задача (А), вообще говоря, не имеет единственного решения. Тем не менее многочлен в нек-рой мере позволяет судить о поведении f(x) на Д, если считать, что В связи с этим возникает потребность в оценке погрешности для к-рая во многом зависит от того, какому классу функций Кпринадлежит f(x), другими словами, Rfn(x). зависит от наперед известных свойств, к-рыми обладает f(x). Напр., если К=С п+1(D), то для задачи (А) остаточный член имеет вид где a<x<b a Здесь через a и b обозначены соответственно наименьшее и наибольшее из чисел х 0, х п и х. Приведенная формула остаточного члена принадлежит О. Коши (A. Cauchy, см. [3]). Величина во многом зависит от характера распределения и числа узлов интерполяции на А. При этом естественно предположить, что чем больше узлов интерполяции х k будет взято и чем "равномерней" они будут расположены на Д, тем "точнее" будет выполняться соотношение (1). Эти соображения в свою очередь приводят к еще более важной интерполяционной задаче, тесно примыкающей к проблеме (А). Пусть f(x)принадлежит классу функций К, определенных на Д, и таких, что при п-0,1,... Предположим, что множество узлов интерполяции при счетно, и задана последовательность чисел Спрашивается, как по имеющимся данным восстановить f(x)? Поставленная задача в общем случае далеко не всегда разрешима и требует ряда уточнений, но это будет сделано несколько позже, а сейчас укажем только абрис одного весьма естественного и важного подхода к решепию проблемы (Б). Обычно вначале решается "усеченная" задача (А): в классе pn. Пусть Lnf(x)- интерполяционный полином, являющийся решением этой усеченной задачи и записанный, например, в виде многочлена Лагранжа. Затем рассматривается возможность осуществления в том или ином смысле предельного перехода при (что равносильно, в частности, исследованию вопроса о стремлении к нулю остаточного члена Rnf(x)при в рассматриваемом смысле). Приведенный эскиз схемы решения задачи (Б) лежит в основе теории сходимости (и расходимости) интерполяционных процессов;он является одним из основных методов решения задач интерполирования и имеет приложения не только в различных разделах чистой математики (напр., в теории чисел, см. [3]), но и в методах вычислений (см. в вычислительной математике, а также [1]). В последующем, наряду с интерполяционными задачами рассмотренного здесь вида, определяемыми простейшими функционалами f(xk), стали исследоваться и другие, в к-рых, напр., задаются значения производных f(m)(xk),m=0, 1,..., п k, или иные более сложные функционалы. При их решении стали применяться интерполяционные процессы, в к-рых в роли отправного интерполирующего класса вместо класса pn используются другие множества функций, напр, классы Т п тригонометрич. полиномов степени классы рациональных функций nmtn=pm/qn, где а и классы целых функций специального вида и т. д. См. также интерполяционная формула. Проблема И. в своей общей постановке заключается в следующем. Пусть Xи Y- два непустых множества; задано семейство отображений fa : Если , — некоторый заданный набор элементов (не обязательно различных) множества У, то естественно возникает задача об отыскании множества всех удовлетворяющих следующей системе равенств Вообще говоря, не для всякого априори заданного набора элементов , задача (В) обязана иметь решения х, Поэтому сформулированная проблема требует ряда уточнений своей постановки. Эти уточнения состоят в следующем.I. Выяснить, каково множество , для к-рых система уравнений (В) (быть может, бесконечная) имеет хотя бы одно решение х,Другими словами, требуется дать конструктивное описание множества Евсех допустимых наборов , для заданного фиксированного семейства отображений , для к-рых система (В) непротиворечива в X.II. Пусть ,- фиксированный допустимый набор элементов из Y.(т. е. принадлежащий множеству E из пункта I) задачи (В); требуется найти множество всех решений х,, системы (В). При решении задач I и II особое значение имеют ответы на следующие вопросы более частного характера.III. Каково подмножество X1, на к-ром система уравнений (В) имеет единственное решение х. для каждого допустимого для Х 1 набора , ?IV. Пусть Е 1 — некоторое подмножество Е, определяемое обычно заданием лишь некоего ограничительного свойства. Требуется дать конструктивную характеристику множества решений х,системы (В) при условии, что правые части в (В) "пробегают" все Е 1. Задание множества X, Y и семейства отображений ,(fa :при ) в совокупности с сформулированными вопросами I и II. (и обычно присоединяемым к ним III, а иногда и IV) определяют интерполяционную задачу (В). Класс задач описанного вида иногда наз. классом прямых задач интерполирования. Каждый в отдельности из перечисленных выше пунктов I, II, III и IV представляет и сам по себе научный интерес. Пункт I имеет "пограничный характер": им занимаются теория чисел, функциональный анализ, теория функций и др. Пусть, напр., хявляется действительным числом, и — его дробная часть. Семейство отображений /Д : задается следующим образом: Y=[0,1), , n= 1, 2,..., и рассматривается следующая конкретизация интерполяционной задачи (В): Для нек-рых подмножеств X,пункт I задачи (2) в какой-то мере исследован, но в целом проблема (2) трудна: до сих пор (1978), напр., нет ответа на вопрос о распределении дробных долей степени числа е, что является весьма частным подвопросом пункта I задачи (2). Связь между вопросом I и проблемами базисности системы элементов в различных функциональных пространствах отмечались, напр., в [9]. Вопрос II самый старый в теории И., он лежит у истоков всей теории И. и связан с именами И. Ньютона (I. Newton), Ж. Лагранжа (J. Lagrange), H. Абеля (N. Abel), III. Эрмита (Ch. Hermite) и др. До 20 в. задачиI, II и IV почти не рассматривались, а решение задачиII, как правило, носило формальный характер. Пункт III тесно примыкает к пункту II, но представляет интерес еще и потому, что во многих задачах он эквивалентен проблеме полноты, а иногда и базисности различных систем элементов ,в соответствующих функциональных пространствах (полнота обычно устанавливается с помощью критерия С. Банаха (S. Banach), в к-ром доказана эквивалентность проблемы полноты нек-рой задаче единственности). Важным примером исследований, относящихся к пункту IV, являются задачи, посвященные изучению классов функций, принимающих целые значения на заданном множестве точек (напр., F(n)или F(qn), n= 0, 1, 2,..., являются целыми числами). Эта область особенно бурно развивалась после получения Д. Пойа (G. Polya) следующего результата: если целая функция F(z)экспоненциального типа s, s<ln 2, такова, что ее значения F(n), n=0,1,2,.. ., являются целыми числами, то F(z)- полином. Константа 1п2 в приведенной теореме точная, ибо функция F(z) = 2z=ezln 2 является целой экспоненциального типа s=ln 2, отлична от многочлена и принимает в точках п = 0, 1, 2,... целые значения (см., напр., [5], [10]). В том случае, когда в задаче (В) множество X является топологич. пространством и редуцированная в каком-то смысле задача (В) имеет сравнительно простое решение х*, одним из методов ее решения является интерполяционный процесс, при котором исследуется сходимость решений х* к решению хсистемы (В). О частном виде подобного рода процессов упоминалось выше. Однако во многих случаях задачи типа (В) эффективно решаются функциональными методами (см., напр., [10]). Помимо прямых интерполяционных проблем определенный интерес представляют обратные задачи интерполирования. Основное содержание исследований в этом направлении состоит в следующем. Заданы непустые множества Хи Y и нек-рый класс Fсемейств отображений , }, действующих из X в Y. Пусть М= , } — некоторая совокупность наборов элементов из множества У. Задача состоит в нахождении необходимых и достаточных условий, к-рым должен удовлетворять подкласс FM, для того, чтобы существовало семейство обладающее следующим свойством: множество совпадает с М(или или ), когда переменная хпробегает всю совокупность значений X. Выбор Fи Мтесно между собой связан. Поэтому в исследованиях, относящихся к разделу обратных задач И., обычно пара (F, М )естественным образом составляет единое целое. В качестве примера обратной задачи описанного здесь вида возьмем одну из формулировок из круга вопросов, примыкающих к известной интерполяционной проблеме Неванлинны — Пика. Пусть — последовательность точек открытого единичного круга |z|<1 комплексной плоскости С. Каждой функции x(z)из класса (- класс функций, аналитических и ограниченных в круге |z|<1) ставится в соответствие последовательность ее значений в точках zk: Таким образом, задан нек-рый вид Fотображений Х=H°° в Y= С. Пусть в качестве Мберется пространство l°° (множество всех ограниченных последовательностей комплексных чисел c=(c1, с 2,...) с нормой В рассматриваемом случае обратная задача конкретизируется следующим образом: требуется дать описание множества всех последовательностей точек единичного круга |z|<l (т. е. класса отображений специального вида fk(x) = x(zk)), обладающих следующим свойством: оператор S(х)отображает все на Последовательности , обладающие указанными качествами, наз. интерполяционными. Таким образом, множество всех интерполяционных последовательностей и определяет в данной ситуации класс Ответ на поставленный вопрос дает теорема Карлесона: для того чтобы последовательность точек открытого единичного круга |z|<1 была интерполяционной, необходимо и достаточно, чтобы существовало б>0 такое, что (так наз. условие разделения). Обратные задачи И., типа решенной Л. Карлесоном (L. Carleson), рассматривались и для других классов функций и соответствующих пространств числовых последовательностей (см., напр., [9]; [12], [13], [14]). См. также Абеля- Гончарова проблема. Лит.:[1] Березин И. С, Жидков Н. Й., Методы вычислений, т. 1, 3 изд., М., 1966, т. 2, 2 изд., М., 1962; [2] Гельфонд А. О., Исчисление конечных разностей, М.- Л., 1952; [3] Гончаров В. Л., Теория интерполирования и приближения функций, 2 изд., М., 1954; [4] Уолш Дж.-Л., Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области, пер. с англ., М., 1961; [5] Бибербах Л., Аналитическое продолжение, пер. с нем., М., 1967; [6] Notlund N. Е., Vorlesungen uber Differenzenre-chnung, В., 1924; [7] eго же, Legons sur les series d'interpolation, P., 1926; [8] Whittaker J. M.; The interpolatorfunction theory, Camb., 1935; [9] Duren P. L., Theorie of Hp spaces, N.Y.-L., 1970; [10] Казьмин Ю. А., Методы интерполяции аналитических функций и их приложения, Докт. дисс, М., 1972; [И] Коробейник Ю. Ф. "Матем. сб.",1975, т. 97, № 2, с. 193-229; т. 98, № 1, С. 3-26; [12] К абайла В., "Литов. матем. сб.", 1963, т. 3, № 1, с. 141-47; [13] Седлецкий А. М., "Докл. АН СССР", 1973, т. 208, №6, с. 1293-95; [14] Шведенко С. В., "Матем. заметки", 1977, т. 21, № 4, с. 503-08. Ю. А. Казьмин.