Интегральное Уравнение

Уравнение, содержащее искомую функцию под знаком интеграла. И. у. делятся на два основных класса: линейные И. у. и нелинейные И. у. Линейные И. у. имеют вид где А, К, f — заданные функции, из которых Аназ. коэффициентом, К- ядром, f — свободным членом (или правой частью) И. у., D- ограниченная или неограниченная область евклидова пространства одного или многих измерений, х, s- точки этого пространства, ds- элемент объема, j — искомая функция. Требуется определить ф так, чтобы уравнение (1) удовлетворялось для всех (или почти всех, если интеграл рассматривается в смысле Лебега) хиз D. Если в (1) А, К — матрицы, f, j — вектор-функции, тогда (1) наз. системой линейных И. у. Если f=0, то И. у. наз. однородным, в противном случае — неоднородным. В зависимости от коэффициента Аразличают три типа линейных И. у. Если (х) = 0 для всех то (1) наз. уравнением 1-го рода; если для всех — уравнением 2-го рода; если (х)обращается в нуль на некотором подмножестве области D- уравнением 3-го рода. В дальнейшем, для простоты изложения, рассматриваются И. у. в одномерном случае, когда D- конечный отрезок [ а, b]. В этом случае линейные И. у. 1-го и 2-го рода можно представить соответственно в виде: постоянное число Xназ. параметром И. у. При исследовании задач математич. физики особенно часто встречаются уравнения 2-го рода. Если ядро Кфредгольмово, т. е. интегральный оператор в уравнениях (2), (3) вполне непрерывен, то И. у. (2), (3) наз. уравнениями Фредгольма 1-го и 2-го рода соответственно. Важным примером уравнения Фредгольма является уравнение, в к-ром ядро Кудовлетворяет условию а правая часть f и искомая функция j — интегрируемые с квадратом функции. Уравнение наз. однородным И. у., соответствующим неоднородному И. у. (3). Аналогично определяется однородное И. у., соответствующее уравнению (2). Однородное И. у. всегда имеет решение j=0, к-рое наз. нулевым (или тривиальным) решен и ем. Значение параметра X, при к-ром И. у. (5) имеет ненулевое решение j , наз. характеристическим (или фундаментальным) значением (числом) ядра Кили И. у. (5), а ненулевое решение j — собственной (или фундаментальной) функцией ядра Кили И. у. (5), принадлежащей (или соответствующей) данному характеристич. значению l. Если l не есть характеристич. число, тогда его наз. правильным (или регулярным) значением (числом). Комплексное ядро Кназ. эрмитовым, если где черта означает переход к комплексно сопряженному значению. В случае вещественного ядра равенство (6) принимает вид К( х, s)=K(s, х). Такое ядро наз. симметричным. Фредгольмово ядро может не иметь характеристич. числа (напр., в случае ядра Вольтерра, см. ниже). Если ядро симметрично и не равно нулю почти всюду, тогда оно имеет, по крайней мере, одно характеристич. число и все характеристич. числа вещественны. Если ядро Кобращается в нуль при s>x (так наз. ядро Вольтерра), то уравнения (2) и (3) принимают вид: Эти уравнения наз. Вольтерра уравнениями1-го и 2-го рода соответственно. Частные примеры И. у. начали появляться в 1-й пол. 19 в. И. у. стали объектом особого внимания математиков после того, как удалось свести решение Дирихле задачи для уравнения Лапласа к исследованию линейного И. у. 2-го рода. Построение общей теории линейных И. у. было начато в конце 19 в. Основоположниками этой теории считаются В. Вольтерра (V. Volterra, 1896), Э. Фредгольм (Е. Fredholm, 1903 [5]), Д. Гильберт (D. Hilbert, 1912 [6]) и Э. Шмидт (Е. Schmidt, 1907 [7]). Еще до исследований этих ученых для построения решения И. у. был предложен метод последовательных приближений. Этот метод применялся сначала для решения нелинейных И. у. типа Вольтерра (по современной терминологии) в связи с исследованиями обыкновенных дифференциальных уравнений в работах Ж. Лиувилля (J. Liouville, 1838), Л. Фукса (L. Fuchs, 1870), Дж. Пеано (G. Peano, l888) и др., а К. Нейманом (С. Neumann, 1877) — для построения решения линейного И. у. 2-го рода. Общую форму методу последовательных приближений придал Э. Пикар (Е. Picard, 1893). При изучении уравнения колеблющейся мембраны A. Пуанкаре (Н. Poincare, 1896) пришел к идее введения переменного численного параметра l. в уравнении (3). Тогда же им была высказана гипотеза, что (аналогично случаю уравнения колеблющейся мембраны) решение И. у. (3) является мероморфной функцией от X. Эту гипотезу доказал Э. Фредгольм (1900-03). Работам Э. Фредгольма предшествовали исследования В. Вольтерра (1896-97), к-рый изучил И. у. вида (7), (8). Он доказал, что если ядро и правая часть уравнения непрерывны, то (8) имеет при любом конечном значении Xодно и только одно непрерывное решение, к-рое можно построить по методу последовательных приближений. Уравнение (3) изучалось Э. Фредгольмом в предположении, что его ядро, а также правая часть и искомое решение — непрерывные функции соответственно на квадрате [ а, b]Х[ а, b] и на сегменте [ а, b]. Следуя B. Вольтерра, Э. Фредгольм заменил интеграл в (3) интегральной суммой и рассмотрел интегральное уравнение (3) как предельный случай конечной системы линейных алгебраич. уравнений (см. Фредголъма уравнение). С помощью формального перехода к пределу Э. Фредгольм получил формулу, дающую решение уравнения (3); доказал, что построенная формула является решением уравнения (3) за исключением конечного или счетного множества значений параметра X, и доказал теоремы об условиях разрешимости уравнения (3). Построенную теорию уравнения (3) Э. Фредгольм распространил на случай системы И. у., а также на случай ядра со слабой особенностью (см. Интегральный оператор). Решение системы приводится к решению одного уравнения, ядро к-рого имеет линии разрыва, параллельные осям координат. Д. Гильберт показал (1904), что теоремы Фредгольма можно доказать путем строгого обоснования процесса предельного перехода, и построил общую теорию линейных И. у. на базе теории линейных и билинейных форм с бесконечным числом переменных. Э. Шмидт [7] придал более простую и несколько более общую форму исследованиям Д. Гильберта. Он построил теорию линейных И. у. с действительным симметричным ядром независимо от теории Фредгольма, представив ядро в виде суммы вырожденного и "малого" ядра. Значительное ослабление ограничений, налагаемых в теории И. у. 2-го рода вещественным симметричным ядром на заданные и искомые элементы уравнения, было достигнуто Т. Карлеманом (Т. Carleman). Им же был распространен (см. [8]) метод Фредгольма на случай, когда ядро И. у. (3) удовлетворяет условию (4). В работах Ф. Рисса (Riesz, 1918) и Ю. Шаудера (J. Schauder, 1930) теоремы Фредгольма были обобщены для нек-рого класса линейных операторных уравнений в банаховых пространствах. Основным методом исследования И. у. 1-го рода является так наз. регуляризации метод. И. у. 3-го рода явились предметом специальных исследований Г. Бейтмана (Н. Bateman, 1907), Э. Пикара (Е. Picard, 1910), Дж. Фубини (G. Fubini, 1912), Ш. Платрие (Ch. Platrier, 1912). Если линейное И. у. не является уравнением Фредгольма, то его наз. сингулярным (или особым) уравнением. Общая теория Гильберта квадратичных форм с бесконечным числом переменных дает возможность и в этом случае получить ряд важных результатов. Для нек-рых конкретных классов сингулярных И. у. разработаны специальные способы их решения, учитывающие характерные свойства этих уравнений. Так, напр., для сингулярных И. у. и И. у. типа свертки, вообще говоря, неверна теорема Фредгольма о том, что два транспонированных однородных И. у. имеют одинаковое число линейно независимых решений. Параллельно с линейными И. у. изучались и нелинейные И. у., когда неизвестная функция может входить в уравнение в степени n, n>1, как это, напр., имеет место в уравнении Она может входить и более общим образом, как, напр., в уравнении (см. Гаммерштейна уравнение, Нелинейное интегральное уравнение). Лит.:[1] Привалов И. И., Интегральные уравнения, 2 изд., М.- Л., 1937; [2] Михлин С. Г., Лекции по линейным интегральным уравнениям, М., 1959; [3] Трикоми Ф., Интегральные уравнения, пер. с англ., М., 1960; [4] Смирнов В. И. Курс высшей математики, т. 4, ч. 1, 6 изд., М., 1974; [5] Fredholm I., "Acta Math.", 1903, v. 27, p. 365- 390; [6] Hi1bert D., Grundziige einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen, Lpz.-В., 1912 (2 Aufl., Lpz., 1924); [7] Schmidt E., "Math. Ann.", 1907, Bd 63, S. 433- 476; Bd 64, S. 161-74; 1908, Bd 65, S. 370-99; [8] Carleman T. "Math. Z.", 1921, Bd 9, S. 196 -217. Б. В. Хведелидзе.