Инфрабочечное Пространство

Локально выпуклое линейное топологич. пространство, в к-ром каждая бочка (т. е. поглощающее выпуклое замкнутое уравновешенное множество), поглощающая любое ограниченное множество, является окрестностью нуля. Важный класс И. п. доставляют бочечные пространства. Произведение любого числа и индуктивный предел И. п. есть И. п.; локально выпуклое пространство инфрабочечно тогда и только тогда, когда либо каждая ограниченная полунепрерывная снизу полунорма является непрерывной, либо каждое сильно ограниченное подмножество в сопряженном пространстве равностепенно непрерывно. В частности, каждое борнологическое пространство (т. е. пространство, в к-ром каждая ограниченная полунорма непрерывна) является И. п. В секвенциально полном линейном топологич. пространстве из инфрабочечности следует бочечность, И. п., подобно бочечным, могут быть охарактеризованы через отображения в банаховы пространства: локально выпуклое линейное топологич. пространство Xявляется И. п. тогда и только тогда, когда для всякого банахова пространства У каждое линейное отображение из Xв Y, имеющее замкнутый график и переводящее ограниченные множества в ограниченные, непрерывно. См. также Ультрабочечное пространство. Лит.:[1] Вурбаки Н., Топологические векторные пространства, пер. с франц., М., 1959; [2] Эдвардс Р.-Э., Функциональный анализ. Теория и приложения, пер. с англ., М., 1969. В. М. Тихомиров.