Информант

Градиент логарифмической функции правдоподобия. Понятие И. возникает в так наз. параметрич. задачах математич. статистики. Имеется априорная информация, что наблюдаемое случайное явление описывается распределением вероятностей Pq(dw). из семейства где t- числовой или векторный параметр, однако истинное значение 8 неизвестно. Проведенное наблюдение (серия независимых наблюдений) явления привело к исходу w(серии w(1), . . ., w(N))). По исходам наблюдения требуется оценить Э. Пусть семейство задается семейством плотностей р(w; t)относительно меры m(dw) на пространстве W всех исходов явления. Когда Q дискретно, за p(w, t)можно принять сами вероятности Р t(w) исходов. При фиксированном со величина р(со; t)как функция параметра t=(t1, ..., tm )наз. функцией правдоподобия, а ее натуральный логарифм — логарифмической функцией правдоподобия. Для гладких семейств удобно вводить И. как вектор к-рый, в отличие от логарифмической функции правдоподобия, не зависит от выбора меры m. И. содержит всю существенную для задачи оценки 6 информацию, как получаемую из наблюдений, так и известную заранее. Кроме того, он аддитивен: при независимых наблюдениях, т. е. когда И. суммируется: В теории статистич. оценивания существенны свойства И. как случайной вектор-функции. В предположении, что логарифмич. функция правдоподобия регулярна, в частности дважды дифференцируема, ее производные интегрируемы и что дифференцирование по параметру перестановочно с интегрированием по исходам, справедливы тождества: Ковариационная матрица наз. информа ционной матрицей. Через эту матрицу выписывается неравенство информации, дающее границу точности статистич. оценок параметра 0. При оценке 0 методом максимума правдоподобия наблюденному исходу w (или серии w(1), ..., w(N)) сопоставляется наиболее правдоподобное, т. е. максимизирующее функцию правдоподобия и логарифмич. функцию правдоподобия, значение t=q*(w). В точке экстремума И. должен обращаться в нуль. Однако возникающее уравнение правдоподобия может иметь лишние корни сверх t=q*, к-рые отвечают локальным максимумам (или минимумам) логарифмич. функции правдоподобия и к-рые следует отбрасывать. Если в нек-рой окрестности значения t-0 то из приведенных свойств И. следует асимптотич. оптимальность оценки максимума правдоподобия при возрастании числа Nиспользуемых независимых наблюдений. Лит.:[1] Уилкс С, Математическая статистика, пер. с англ., М., 1967. Н. Н. Чепцов.