Индуцированное Представление

Представление p локально компактной группы G, индуцированное представлением р ее замкнутой подгруппы Н, точнее, представление p группы Gв нек-ром пространстве Ефункций f на группе G, принимающих значения в пространстве Vпредставления р и удовлетворяющих условию f(hg)=r(h)f(g). для всех причем [p(g1)f](g) = f(gg1 )для всех g, И. п. я обычно обозначается Операция построения И. п. является простейшим и важнейшим приемом построения представлений более сложных групп, исходя из представлений более простых групп, и для широких классов групп полное описание неприводимых представлений может быть дано в терминах И. п. или их обобщений. Если G- конечная группа, то индуцирующее представление р предполагается конечномерным, а в качестве пространства Vрассматривается пространство всех функций f на группе G, принимающих значения в Vи удовлетворяющих условию f(hg)=p(h)f(g). Представление где р — единичное представление единичной подгруппы , есть правое регулярное представление группы G;представление эквивалентно представлению р. Представление эквивалентно представлению sв пространстве Wвсех функций на однородном пространстве со значениями в V, определенному формулой вида [s(g)f](x) = a(g, x) f(xg), причем функция аопределяется следующим образом: если s :- некоторое отображение, удовлетворяющее условию для всех то a(g, x)=p(h), где s(x)g=hs(xg )для всех Функция аявляется одномерным коциклом группы Gс коэффициентами в группе функций на Xсо значениями в обратимых операторах в V. Если rt эквивалентно представлению r2, то Ind r1 эквивалентно Ind r2; представление эквивалентно представлению Если К, И — подгруппы группы G, K М H, и r — представление группы К, то представление группы G, индуцированное представлением группы Н, эквивалентно представлению (теорема о сквозном индуцировании). Если p, r — представления группы Gи ее подгруппы Нсоответственно, то пространства сплетающих операторов Ноm (я,) и изоморфны, где p|H- сужение представления p на подгруппу Н(теорема двойственности Фробениуса); в частности, если я и р неприводимы, то я входит в Ur с той же кратностью, с к-рой р входит в p|H. Характер cp И. п. p=Ur группы Gопределяется формулой: где cr -характер представления р группы Н, продолженный нулем на всю группу G, а d пробегает набор представителей правых смежных классов группы Gпо подгруппе Н. Пусть Н, К- подгруппы группы G, r — представление группы Н,. для всех gО G и pg- представление группы К, индуцированное представлением rg группы Gg, определяемым формулой pg(x)=p(gxg-1), x О Gg;. тогда представление pg однозначно определяется двойным классом HgK, содержащим элемент g, и сужение И. п. HUPG на подгруппу Кэквивалентно прямой сумме представлений pg, где сумма берется по множеству представителей всевозможных двойных классов HgK, g О G (теорема об ограничении И. п. на подгруппу). Эта теорема может быть применена, в частности, к разложению тензорного произведения И. п. Пространство операторов, сплетающих данные И. п., допускает явное описание. Представление p группы Gтогда и только тогда эквивалентно И. п. вида HUPG для нек-рых Ни р, когда существует такое отображение Рмножества подмножеств пространства HGв множество проекторов в пространстве Епредставления я, что 1) Р(ф)= 0, P(HG)=1;.2) если М, N МHG и то Р()=P{M)+P(N);.3) Р{)=P(M)P(N). для всех М, N МHG;.4) P(Mg)=p-1(g)P(M)p(g). для всех MМHG, g О G (такое отображение Рназ. системой импримитивности для представления л с базой И. п. конечной группы может быть непосредственно описано в терминах модулей над групповой алгеброй, а также может быть определено в категорных терминах. Конечная группа наз. мономиальной, если любое ее неприводимое представление индуцировано одномерным представлением нек-рой подгруппы. Всякая мономиальная группа разрешима; всякая нильпотентная группа мономиальна. Определение И. п. локально компактной группы Gсущественно зависит от выбора пространства Е;напр., в качестве Ечасто рассматривается пространство всех непрерывных функций на G, удовлетворяющих условию f(hg) = p(h)f(g), или (если G- группа Ли) пространство всех дифференцируемых функций на G, удовлетворяющих тому же условию. С другой стороны, пусть р — непрерывное унитарное представление замкнутой подгруппы в гильбертовом пространстве V, пусть s- измеримое отображение локально компактного пространства в G, удовлетворяющее условию для всех пусть DG, DH- модули групп (см. Хаара мера) G И Нсоответственно и vs — такая G-квазиинвариантная мера на X, что где s(x)g=hx, gs(xg )для всех хО Х, g ОG;пусть L2(G, Н,r) — гильбертово пространство измеримых вектор-функций Fна группе Gсо значениями в V, удовлетворяющих условию для всех hО H, g ОGи таких, что интеграл сходится; непрерывное унитарное представление p группы Gв L2(G, H, р), определенное формулой для всех наз. унитарным индуцированным представлением локально компактной группы G. Большая часть результатов об И. п. конечных групп допускает обобщение на случай унитарных И. п. локально компактных групп, в том числе свойства представлений и связь И. п. с коциклами на группе G, теоремы о сквозном индуцировании и об ограничении И. п. на подгруппу,- формула для характера И. п., критерий индуцированности представления, свойства мономиальных групп п теорема двойственности Фробениуса допускают более или менее непосредственное обобщение на случай унитарных И. п. И. п. локально компактной группы Gсвязаны с представлениями нек-рых обобщенных групповых алгебр этой группы. Если G- группа Ли, то понятие И. п. группы Gдопускает различные обобщения, в том числе понятие голоморфно И. п., пространство к-рого Еявляется пространством функций на G, аналитических по нек-рым переменным, и понятие представления в когомологиях векторных расслоений над однородными пространствами группы G(представления в нулевых когомологиях суть И. п.). Понятие И. п. и его обобщения играют плодотворную роль в теории представлений; в частности, в терминах унитарных И. п. описываются представления расширений групп; основная серия непрерывных унитарных представлений связной действительной полупростой группы Ли Gобразована И. п., а именно- индуцированными конечномерными унитарными представлениями борелевской подгруппы группы G;дискретная серия представлений линейной действительной полупростой группы Ли реализуется в когомологиях нек-рых векторных расслоений над однородными пространствами этой группы; неприводимые непрерывные унитарные представления разрешимых связных групп Ли типа I описаны в терминах голоморфно И. п. [7]. Операция И. п. допускает обобщение на случай неунитарных представлений локально компактных групп, а также топологич. групп, не являющихся локально компактными. Изучен [6] аналог И. п. для С*-алгебр. Лит.:[1] Кириллов А. А., Элементы теории представлений, М., 1972; [2] Наймарк М. А., Теория представлений групп, М., 1976; [3] Серр Ж.-П., Линейные представления конечных групп, пер. с франц., М., 1970; [4] Макки Г. Д ж., "Математика", 1962, т. 6, № 6, с. 57-103; [5] Schmid W., "Ann. of Math.", 1976, v. 103, p. 375-94; [6] Rieffel M., "Advances in Math.", 1974, v. 13, №2, p. 176-257; [7] Auslander L., Konstant В., "Invent, math.", 1971, v. 14, № 4, p. 255-354; [8] Вершик А. М., Гельфанд И. М., Граев М. И., "Успехи матем. наук", 1975, т. 30, в. 6, с. 3-50; [9] Менский М. Б., Метод индуцированных представлений. Пространство — время и концепция частиц, М., 1976. А. И. Штерн.