Индекса Формулы

Соотношения между аналитич. и топологич. инвариантами операторов нек-рого класса. Именно, И. ф. устанавливают связь между аналитич. индексом линейного оператора(L0, L1- топологич. векторные пространства), определяемым формулой и измеряющим таким образом "разность" между дефектными подпространствами D:его ядром Кеr D=D-1(0) и его коядром Coker D = L1/D(L0), и топологич. индексом — нек-рой топологич. характеристикой оператора Dи пространств L0, L1. Для общего эллиптического дифференциального оператора на замкнутом многообразии задача нахождения И. ф. поставлена в конце 50-х гг. 20 в. [1] и решена в 1963 (см. [2]), хотя частные виды И. ф. были известны и ранее: такова, напр., Гаусса- Бонне теорема и ее многомерные варианты. В дальнейшем был получен ряд обобщений И. ф. на объекты более сложной природы; в этих случаях вместо индекса — целого числа — могут фигурировать произвольные комплексные числа и даже функции. Элементарные формулы индекса. 1) Пусть М- дифференцируемая граница ограниченной области А- эллиптический псевдодифференциальный оператор, отображающий пространство дифференцируемых комшгекенозначных вектор-функций на Мсо значениями в С р в себя. Пусть В(М)- многообразие касательных векторов к Мдлины ориентированное посредством 2n-формы где х 1, . .., х п- локальные координаты . на М,x1, ..., xn — соответствующие координаты в касательном пространстве, S(M)- ориентированная граница В(М), образованная единичными касательными векторами. В силу эллиптичности Аего символ аявляется невырожденной (р р)-матричной функцией на S(M). Оказывается, что для индекса оператора Аимеет место формула [7]: где — внешняя степень матричной дифференциальной формы a-1da, а через Тr обозначен след (р р)-матричной формы. В частности, если р<n или если А- дифференциальный оператор на нечетномерном многообразии, то ind A = 0 (для псевдодифференциального оператора последнее, вообще говоря, неверно).2) Пусть А- эллиптический дифференциальный оператор вида (здесь a- мультииндекс) в пространстве В 1, . . ., В т/2,- краевые дифференциальные операторы из в вида Набор операторов задает эллиптическую краевую задачу, если не вырождается на S(M)функция Здесь rjk — коэффициенты полиномов являющихся остатками от деления l-полиномов bj(x, l) на l-полином а +(x, l), где а а + определяется из разложения а=а + а -, где x, v — единичные касательный вектор и внутренняя нормаль к Мсоответственно; а + (соответственно а -)- l-полином, не имеющий нулей в верхней (соответственно, нижней) l-полуплоскости. Индексом описанной краевой задачи наз. индекс соответствующего ей линейного оператора из в переводящего в набор . Оказывается, что индекс эллиптической краевой задачи совпадает с индексом эллиптического псевдодифференциального оператора на М, символом к-рого служит матрица r=(rjk). В частности, индекс задачи Дирихле равен нулю. Имеются общие И. ф. для граничных задач [16], [17]. Формулы Атьи — Зингера. Пусть и С°° (h).- пространства бесконечно дифференцируемых сечений векторных расслоений x и h. над дифференцируемым замкнутым n-мерным многообразием М, D- (псевдодифференциальный) эллиптич. оператор, действующий из в Топологич. индекс it(D)оператора Dопределяется следующим образом. Вследствие эллиптичности символ s(D). оператора Dопределяет изоморфизм поднятий векторных расслоений на S(M): где p :- расслоение единичных сфер кокасательного расслоения Т*М многообразия М. Пусть В(М)- пространство расслоения единичных шаров в Т*М, это — 2n-мерное многообразие с краем S(M). Склейкой двух экземпляров В + (М)и В~ (М)многообразия В(М)по их общей границе получается замкнутое 2n-мерное многообразие е(М) = В +US(M)B- , над к-рым строится векторное расслоение где a s(D). использовано для отождествления x и h вдоль S(M). Это векторное расслоение V(s). несет всю топологич. информацию, нужную для определения топологич. индекса. Именно: где ch V(s)- когомологический Чжэня характер расслоения V(s).когомологический Тодда класс комплексифицированного кокасательного расслоения и справа стоит значение 2n-мерной компоненты элемента ch на фундаментальном цикле многообразия [е(М)]. Таким образом, отображение V(s(D))->it(D). определяет гомоморфизм тривиальный на образе К(М), здесь К(Х)- Гротендика группа, порожденная комплексными векторными расслоениями над X. Теорема об индексе Атьи — Зингера: Формула (2) допускает ряд модификаций. Вводится следующим образом зависящий от символа a(D)рациональный класс когомологий ch [s(D)]:тройке сопоставляется различающий элемент, к-рый можно рассматривать как первое препятствие к распространению изоморфизма а на все В(М), где ТМ- касательное расслоение, к-рое (с помощью римановой метрики на М)можно отождествить с Т*М, . Этот пример — обобщение (х6) и для него имеет место [14] аналогичная И. ф. Если дано семейство эллиптических операторов, параметризованное точками укомпактного пространства Y, то определен его аналитич. индекс (см. [15]). Топологич. индекс it(D)строится аналогично формуле (6) (все построения делаются "послойно" над Y). и имеет место теорема об индексе. Лит.:[1] Гельфанд И. М., "Успехи матем. наук", 1960, т. 15, в. 3, с. 121-32; [2] Атья М. Ф., 3ингер И.