Инъективный Модуль

Инъективный объект в категории модулей над кольцом R, т. е. такой R-модуль Енад ассоциативным кольцом R с единицей, что для любых R-модулей М, N, для любого мономорфизма i: и для любого гомоморфизма f: найдется такой гомоморфизм g:что диаграмма коммутативна (все R-модули предполагаются правыми). Следующие условия на R-модуль Еравносильны его инъективности: 1) для любой точной последовательностииндуцированная последовательность точна; 2) любая точная последовательность R-модулей, имеющая вид расщепляется, т. е. подмодуль Im a=Кеr (5 выделяется в Мпрямым слагаемом; 3) для всех R-модулей С; 4) для сякого правого идеала I кольца R любой гомоморфизм R-модулей f: может быть продолжен до гомоморфизма R-модулей g: (критерий Бэра). В категории R-модулей "достаточно много" инъективных объектов: каждый R-модуль Мможно вложить в И. м. Более того, каждый модуль Мсодержится в своей инъективной оболочке Е(М), то есть в И. м. Е(М), каждый ненулевой подмодуль к-рого имеет ненулевое пересечение с М. Любое вложение модуля Мв И. м. Епродолжается до вложения инъективной оболочки Е(М)в Е. Каждый R-модуль Мобладает инъективной резольвентой т. е. точной последовательностью модулей, в к-рой все модули Ei,. инъективны. Длина самой короткой инъективной резольвенты наз. инъективной размерностью модуля (см. также Гомологическая размерность). Прямое произведение И. м. есть И. м. Еравен Е r для любого элемента не являющегося левым делителем нуля в R, т. е. И. м.- делимый модуль. В частности, абелева группа является И. И. м. широко используются при описании различных классов колец (см. Гомологическая классификация колец). Так, все модули над кольцом инъективны тогда и только тогда, когда кольцо классически полупросто. Равносильны условия: R — нётерово справа кольцо; любая прямая сумма инъективных R-модулей инъективна; любой инъективный R-модуль разлагается в прямую сумму неразложимых R-модулей. Артиновость справа кольца R равносильна тому, что каждый И. м. является прямой суммой инъективных оболочек простых модулей. Наследственность справа кольца равносильна инъективности всех фактормодулей инъективных R-модулей, а также тому, что сумма двух инъективных подмодулей в произвольном R-модуле инъективна. Если кольцо R наследственно справа и нётерово справа, то каждый R-модуль содержит наибольший инъективный подмодуль. Проективность (инъективность) всех инъективных (проективных) R-модулей эквивалентна тому, что R является квазифробениусовым кольцом. Инъективная оболочка модуля RR играет важную роль в теории колец частных. Напр., если правый сингулярный идеал кольца Л равен нулю, Е- инъективная оболочка модуля RR, — ее кольцо эндоморфизмов, то R-модули и ER изоморфны, Еявляется кольцом, изоморфным кольцу L, и это кольцо оказывается максимальным правым кольцом частных кольца R, причем — самоинъективное справа регулярное (в смысле Неймана) кольцо. В связи с различными задачами продолжения гомоморфизмов модулей рассматриваются классы модулей М, близких к инъективным: квазиинъективные (если и f :то f продолжается до эндоморфизма модуля М);псевдоинъективные (если f: и f — мономорфизм, то f продолжается до эндоморфизма модуля М);малоинъективные (все эндоморфизмы подмодулей продолжаются до эндоморфизмов модуля М). Квазиинъективность модуля Мравносильна инвариантности модуля Мв своей инъективной оболочке относительно ее эндоморфизмов. Лит.:[1] Картан А., Эйленберг С, Гомологическая алгебра, пер. с англ., М., 1960; [2] Маклейн С, Гомология, пер. с англ., М., 1966; [3] Faith С, Lectures on injective modules and quotient rings, B.-Hdlb.-N.Y., 1967; [4] Sharpe D. W., Vamos P., Injective modules, Camb., 1972. А. В. Михалев, А. А. Туганбаев.