Харди — Литлвуда Проблема

Задача нахождения асимптотич. формулы для числа Q(n)решеий уравнения где р — простое, хи у — целые, п — натуральное число Аналогом этой задачи является проблема нахождения асимптотики для числа решений уравнения где — фиксированное целое число, X. -Л. п. была поставлена Г. Харди (G. Hardy) и Дж. Литлвудом (J. Littlewood) в 1923 и рассмотрена ими на основе эвристич. и гипотетич. соображений. Дисперсионный метод, разработанный Ю. В. Линником, позволил ему найти асимптотику для (1): где Из аналогичной формулы для (2) следует бесконечность множества простых чисел вида р=x2+y2+l. С помощью дисперсионного метода найдена асимптотика для числа решений обобщенного уравнения Харди — Литлвуда где р — простое, — заданная примитивная положительно определенная квадратичная форма. Рассмотрение аналогичного уравнения приводит к доказательству бесконечности множества простых чисел вида Теорема Виноградова — Бомбьери о распределении простых чисел в арифметич. прогрессиях в среднем также доставляет решение X.- Л. п., заменяя фактически расширенную гипотезу Римана теоремами типа большого решета. Лит.:[1] Линник Ю. В., Дисперсионный метод в бинарных аддитивных аадачах, Л., 1961; [2] Брeдихин Б. М., Линник Ю. В.. лМатем. сб.