Харди Классы

Hp, р> 0,-классы аналитич. в круге функций f(z), для к-рых где -нормированная мера Лебега на окружности это равносильно условию существования у субгармонич. функции |f(z)|p гaрмонич. мажоранты в D. К X. к. причисляют также класс ограниченных аналнтич. функций в D. Введенные Ф. Риссом [1] и названные им в честь Г. Харди (G. Hardy), первым рассмотревшего свойства р-средних в условии (*), X. к. играют важную роль в различных вопросах граничных свойств функций, гармонич. анализа, теории степенных рядов, линейных операторов, случайных процессов, экстремальных и аппроксимационных задач. При любых справедливы точные вложения где N — класс Неванлинны ограниченного вида функций, в частности функции X. к. имеют почти всюду на Т угловые граничные значения по к-рым исходные функции f(z) в Dвосстанавливаются однозначно. Если то (обратное верно не для любой аналитич. ции f(z))и Классы Н р, — это в точности классы аналитических в Dфункций f(z), к-рые имеют граничные значения и восстанавливаются по ним посредством интеграла Коши. Функции же, представимые в Dинтегралом типа Коши или Коши — Стилтьеса, принадлежат, вообще говоря, лишь классам Н р, p < 1 (обратное неверно). Однолистные функции в Dпринадлежат всем классам Н р, р <1/2. Условие необходимо и достаточно для того, чтобы аналитич. ция f(z) была непрерывна в и абсолютно непрерывна на Т. Если функция f(z) конформно отображает круг Dна жорданову область G, то условие равносильно спрямляемости контура (см. [2], [5]). Существование взаимно однозначного соответствия между функциями X. к. и их граничными значениями позволяет рассматривать, когда это удобно, функции как функции на Т, при этом классы Н р становятся замкнутыми подпространствами банаховых (полных линейных метрических, если р< 1) пространств Lp (Т). При 0 < р < оо (бесконечность) эти подпространства совпадают с замыканиями в L р (Т)многочленов от а при -с совокупностями тех функций из LP(T), коэффициенты Фурье к-рых равны нулю для отрицательных индексов. Теорема Рисса утверждает, что отображение Р, выражаемое через ряды Фурье равенством является ограниченной проекцией банахова пространства Lp (Т)на Н р при любом но не при р — 1, Отсюда вытекает совпадение действительных пространств и Re Hp, при других же значениях р эти пространства существенно различны как по аппроксимативным характеристикам и структуре сопряженных пространств, так и (при р = 1) в отношении свойств коэффициентов Фурье (см. [7], [9]). Множества нулей нетривиальных функций X. к. полностью характеризуются условием обеспечивающим равномерную сходимость внутри Dканонич. Бляшке произведений Для любой функции р > 0, имеет место факторизация Рисса где В(z) — произведение Бляшке, построенное по нулям функции в D. Функция f0(z) в свою очередь разлагается в произведение f0(z) = внешней функции и внутренней сингулярной функции где а — неотрицательная сингулярная мера на Т. Условия равносильны, при этом почти всюду на Т. Внутренние функции G(z), имеющие вид полностью характеризуются условиями |G(z)| < 1 в Dи почти всюду на Т. Часто используют разложение произвольной функции в произведение двух функций из H2 (см. [4], [5]). Класс H2 занимает особое место среди X. к., так как является гильбертовым пространством с воспроизводящим ядром и имеет простое описание через коэффициенты Тейлора: Важную роль сыграло изучение оператора умножения на s, или оператора сдвига, в пространстве H2; оказалось, что все инвариантные подпространства этого оператора порождены внутренними функциями G(z), т. с. имеют вид (см. [4]). Относительно поточечного умножения и sup-нормы класс является банаховой алгеброй с весьма сложным строением пространства максимальных идеалов и границы Шилова (см. [4]); вопрос о плотности идеалов в пространстве с обычной топологией Гельфанда (т. н. проблема короны) был решен положительно на основе описания универсальных интерполяционных последовательностей — последовательностей > таких, что X. к. аналитич. ций f(z) в областях отличных от круга, можно определить (в общем случае неэквивалентно) исходя либо из условия существования у функций | f(z)|p гармонич. мажоранты в G, либо из условия ограниченности интегралов по семействам контуров , в каком-то смысле приближающих границу области G. Первый способ позволяет определить также X. к. на римановых поверхностях. Второй способ приводит к классам, лучше приспособленным для решения экстремальных и аппроксимационных задач; в случае жордановых областей Gсо спрямляемой границей последние классы наз. классами Смирнова и обозначаются Е р(G) (см. [2]). Для полуплоскости, напр. , классы Н Р (Р), р>0, определяемые условием по свойствам близки к X. к. для круга, однако их приложения в гармонич. анализе связаны уже не с теорией рядов Фурье, а с теорией преобразований Фурье. X. к. аналитич. ций f(z) = f(z1, ..., zn) в единичном шаре В n и единичном поликруге Dn пространства определяются условием (*) с заменой окружности Тсоответственно сферой или остовом Т n поликруга. Специфика многомерного случая проявляется прежде всего в отсутствии простой характеристики множеств нулей и факторизации функций соответствующих X. к. (см. [6], [10]). X. к. определяются, причем различными способами, и для других областей в (см. [101). Многомерными аналогами X. к. (см. [3]) являются т. н. пространства Харди — пространства р>0, систем Рисса — действительных вектор-функций удовлетворяющих обобщенным условиям Коши — Римана . дляк-рых Определение этих пространств можно дать и в терминах лишь лдействительных частей