Хадвигера Гипотеза

Задача комбинаторной геометрии о покрытии выпуклого тела фигурами специального вида, выдвинутая X. Хадвигером [1]. Пусть К- выпуклое тело n-мерного евклидова пространства а b(К)- минимальное число тел, гомотетичных Кс коэффициентом гомотетии k,0 < k< 1, достаточное для покрытия тела К. X. г. заключается в следующем: для любого ограниченного справедливы неравенства Причем неравенство b(К)=2n характеризует параллелепипед (см. [1]). X. г. подтверждена для случая для имеются (1984) лишь частные результаты. Напр., для любого n-мерного ограниченного многогранника каждые две вершины к-рого принадлежат двум различным параллельным опорным гиперплоскостям к К, справедливы неравенства (*). Причем b(К) совпадает с числом вершин К, а в множестве таких многогранников равенство b(К)=2n проверяется только для параллелепипеда. Этот результат связан с решением одной из Эрдёша задач очисле точек в каждые три из к-рых образуют не тупоугольный треугольник. X. г. связана и с покрытия, разбиения и освещения задачами. Напр., X. г. может быть рассмотрена как обобщение Бoрсука проблемы о разбиении множества на части меньшего диаметра для случая, когда заменяется пространством Минковского. Для неограниченного число b(K) либо равно b(K'), где K' выпуклое и ограниченное тело с меньшим числом измерений, либо Напр., для число b(K)принимает одно из значений: 1, 2, 3, 4, (см. [2]). Лит.:[1] Hadwigcr H., лArchiv Math.