Хаара Система

Одна из классических ортонормированных систем функций. Функции Хаара этой системы определяются на отрезке [0, 1] следующим образом: если n=2m+k, k=1,. . .,2 т, т=0,1,. . ., то Во внутренних точках разрыва функции Хаара полагаются равными полусумме своих предельных значений справа и слева, а на концах отрезка [0, 1] — своим предельным значениям изнутри отрезка. Система определена А. Хааром ([1]). Она ортонормирована на отрезке [0, 1]. Ряд Фурье по этой системе от любой непрерывной на отрезке [0, 1] функции сходится к ней равномерно. Более того, если — модуль непрерывности функции f(t) на отрезке [0, 1], то для частных сумм Sn(t, f) порядка пряда Фурье-Хаара функции f(t) справедливо неравенство X. с. является базисом в пространстве Lp [0, 1], Если и — интегральный модуль непрерывности функции f(t)в метрике пространства L р [0. 1], то (см. [3]) X. с. является безусловным базисом в пространстве Lp [0, 1] при 1<р<oo (бесконечность). Если функция f(t)интегрируема по Лебегу на отрезке [0, 1], то ее ряд Фурье-Хаара сходится к ней в любой точке Лебега этой функции и, в частности, почти всюду на [0, 1]. При этом сходимость (и абсолютная сходимость) ряда Фурье-Хаара в фиксированной точке отрезка [0, 1] зависит лишь от значений функции в любой сколь угодно малой окрестности этой точки. Для рядов Фурье — Хаара существенно отличаются друг от друга следующие свойства: а) абсолютная сходимость всюду; б) абсолютная сходимость почти всюду; в) абсолютная сходимость на множестве положительной меры; г) абсолютная сходимость ряда коэффициентов Фурье. Для тригонометрич. рядов все эти свойства равносильны. Свойства коэффициентов Фурье — Хаара резко отличаются от свойств тригонометрич. коэффициентов Фурье. Напр., если функция f(t) непрерывна на отрезке [0,1], а an(f) — ее коэффициенты Фурье по системе то справедливо неравенство откуда следует, что В то же время коэффициенты Фурье — Хаара непрерывных функций не могут убывать слишком быстро: если функция f(t) непрерывна на отрезке [0,1] и то f(t)=const на [0,1]. Для функций справедливы следующие оценки (см. [3]): Если же f(t)имеет квнечную вариацию V(f) на отрезке [0,1], то Все эти неравенства являются точными в смысле порядка убывания их правых частей при (в соответствующих классах) (см. [3]). Интересной особенностью отличаются ряды вида безусловно сходящиеся почти всюду: если ряд вида (*) при любом порядке следования его членов сходится почти всюду на множестве положительной меры Лебега (исключительное множество меры нуль может зависеть от порядка следования членов ряда (*)), то этот ряд сходится абсолютно почти всюду на [0, 1]. Для рядов вида (*) справедлив следующий критерий: чтобы ряд (*) сходился почти всюду на измеримом множествe необходимо и достаточно, чтобы ряд сходился почти всюду на Е. Ряды Хаара могут служить для представления измеримых функций: для любой конечной почти всюду на отрезке [0,1] измеримой функции f(t)существует ряд вида (*), к-рый почти всюду на [0,1] сходится к функции f(t). При этом конечность функции f(t)существенна: не существует ряда вида (*), сходящегося к (или на множестве положительной меры Лебега. Лит.:[1] Нааr A., лMath. Ann,