Групповая Алгебра

Группы G над полем K — ассоциативная алгебра над полем К, элементами к-рой являются всевозможные формальные конечные суммы вида а операции определяются формулами: (в правой части второй формулы сумма также конечна). Эта алгебра обозначается KG;элементы группы Gобразуют базис алгебры KG;умножение базисных элементов в Г. а. индуцируется групповым умножением. Алгебра KG изоморфна алгебре функций, определяемых на группе Gсо значениями в поле Ки принимающих лишь конечное число ненулевых значений; умножение в этой алгебре — свертка функций. Эту же конструкцию можно рассмотреть и для случая, когда K — ассоциативное кольцо. Таким образом приходят к понятию группового кольца группы G над кольцом K; в случае, когда Ккоммутативно и с единицей, групповое кольцо наз. часто также групповой алгеброй группы над кольцом. Г. а. были введены Г. Фробениусом (G. Frobenius) и И. Шуром [1] в связи с изучением представлений групп, поскольку рассмотрение представлений группы Gнад полем K равносильно изучению модулей над Г. a. KG. Так, теорема Машке на языке групповых алгебр формулируется следующим образом: если G — конечная группа, а K — поле, то Г. a. KG полупроста тогда н только тогда, когда порядок группы G не делится на характеристику поля K. В начале 50-х гг. 20 в. появились исследования по Г. а. бесконечных групп в связи с применением целочисленных Г. а. в алгебраич. топологии, а также с использованием методов теории Г. а. при изучении строения группы. Этому способствовал также ряд проблем, поставленных для Г. а., наиболее известная из них: содержит ли делители нуля Г. а. группы без кручения? (проблема Капланского). Некоторые направления исследований по групповым кольцам н алгебрам. Радикал и полупростота. Групповое кольцо обладает ненулевым нилыютентным идеалом тогда и только тогда, когда либо Кимеет ненулевой нилыютентный идеал, либо порядок нек-рой конечной нормальной подгруппы из Gделится на порядок элемента из аддитивной группы кольца К. Если К — кольцо без нильидеалов и порядок любого элемента из G не делится иа порядок ни одного элемента из аддитивной группы К, то KG без нпльидеалов. Г. a. KG над полем характеристики 0 полупроста в смысле Джекобсона радикала, если Ксодержит трансцендентный элемент над полем рациональных чисел. Вложение Г. а. в тела. Г. а. упорядоченной группы вложима в тело (теорема Мальцева — Неймана). Существует предположение, что это же верно для Г. а. всякой правоупорядоченной группы. Связь теоретико-кольцевых свойств группового кольца КG со строением группы G и кольца К. Напр., КG первично тогда н только тогда, когда кольцо Кпервично и группа G не имеет конечных нормальных подгрупп. Проблема изоморфизма: если групповые кольца КG и КН изоморфны как К-алгебры, то какая связь существует между строением групп G и К, в частности, когда G и Н изоморфны? Выяснилось, что однозначно определяет группу групповое кольцо периодической разрешимой группы класса 2 над кольцом целых чисел и групповое кольцо счетной абелевой р-группы над кольцом характеристики р. Рассматривались различные обобщения понятия Г. а., напр, понятие скрещенного произведения группы и кольца, для к-рого остаются справедливыми многие свойства Г. а. Лит.:[1] Schur I., "Sitzber. Preuss. Akad. Wiss.", 1905,8. 406-32; [2] Кэртис Ч., Райнер И., Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр, пер. с англ., М., 1969; [3] Passman D. S., Infinite group rings, N. Y., 1971; [4] Современные проблемы математики, т. 2, М., 1973, с. 5-118; [5] Бовди А. А., Групповые кольца, Ужгород, 1974; см. также лит. при статье Представления групп. А. А. Бовди.