Гомологическая Размерность

Числовая характеристика объекта категории относительно некоторого выделенного класса объектов этой категории. Основная область применения этого понятия — категории модулей над кольцом. Пусть — фиксированный класс объектов абелевой категории и объект из , тогда (проективной) гомологической размерностью объекта Аотносительно класса наз. наименьшее число n, для к-рого существует точная последовательность вида где все из Если такого и не существует, то говорят, что Г. р. равна . Пусть — категория левых (правых) модулей над ассоциативным кольцом Rс единицей. Тогда: а) если — класс всех проективных левых R-модулей, то соответствующая Г. р. модуля Аназ. проективной размерностью и обозначается ; б) если — класс всех плоских левых A-модулей, то соответствующая Г. р. модуля Аназ. слабой размерностью и обозначается Если — категория левых градуированных модулей над градуированным кольцом , а — класс всех левых проективных градуированных R-модулей, то соответствующая Г. р. градуированного R-модуля Аназ. градуированной проективной размерностью и обозначается . Рассматривается также двойственная конструкция. Если , то наименьшее число птакое, что существует точная последовательность где все модули инъективны, наз. инъективной размерностью модуля Аи обозначается Пусть тогда следующие условия равносильны: а) б) для всех (см. ФункторExt); б') для всех циклических модулей В; в) — точный функтор относительно аргумента В; г) если — точная последовательность п модули при ннъективны, то — инъективный модуль. Эквивалентны между собой также условия: — точная последовательность и модули при проективны, то и — проективный модуль. Если последовательность — точна, где и то Если Число наз. левой глобальной размерностью кольца R. Если кольцо R обладает композиционным рядом левых идеалов, то Число наз. слабой глобальной размерностью кольца R, при этом Число наз. левой ограниченной глобальной размерностью кольца R. Сюда же примыкают следующие размерности: если R — алгебра над коммутативным кольцом К, то проективная размерность R-бимодуля R (т. е. левого -модуля, где R0p -противоположное R кольцо) наз. биразмерностью алгебры R и обозначается bid R; если G — группа, К — коммутативное кольцо, то (ко) гомологической размерностью группы Gназ. плоская (проективная) размерность модуля Кнад групповым кольцом KG c тривиальным действием группы Gна Ки обозначается Ряд хорошо известных теорем можно переформулировать в терминах Г. р. Напр., теорема Веддерберна — Артина будет иметь вид: кольцо R классически полупросто тогда и только тогда, когда Кольцо R регулярно (в смысле Неймана) тогда и только тогда, когда Равенство для алгебры R над полем Кравносильно ее сепарабельности над К. Утверждение о том, что подгруппа свободной абелевой группы свободна, эквивалентно тому, что — кольцо целых чисел. Кольцо R, для к-рого наз. наследственным слева кольцом. Левая и правая глобальные размерности кольца Rмогут не совпадать. Если же Rнётерово слева и справа, то Если — гомоморфизм колец, то любой S-модуль можно рассматривать и как R-модуль, при этом: Если кольцо R — фильтрованное, то где — ассоциированное градуированное кольцо. В ряде случаев изучение Г. р. связано с мощностью рассматриваемых модулей. Это позволяет, в частности, оценивать разность между слабой и проективной размерностями модуля, а также разность между левой и правой глобальными размерностями кольца. Континуум-гипотеза равносильна утверждению о том, что где — поле действительных чисел, — поле рациональных функций, а — кольцо многочленов над R. Большая часть исследований по Г. р. посвящена выявлению связей Г. р. с другими характеристиками модулей и колец. Так, Гильберта теорема о сизигиях утверждает, что где К — поле, а — кольцо многочленов от переменных х 1, ..., х п над К. К настоящему времени эта теорема значительно обобщена. Г. р. групповых алгебр разрешимых групп тесно связана с длиной разрешимого ряда группы и рангами ее факторов. Из равенства следует, что G- свободная группа (теорема Столлингса). Исследуются связи между Г. р. и другими размерностями модулей и колец. Напр., размерность по Круллю коммутативного кольца Rсовпадает с тогда и только тогда, когда все локализации кольца Rпо простым идеалам имеют конечную размерность Крулля. Всякое коммутативное нётерово кольцо R, для которого , раскладывается в конечную прямую сумму областей целостности. Локальное кольцо регулярной точки наз. в алгебраич. геометрии локальным регулярным кольцом. Глобальная размерность такого кольца совпадает с его размерностью Крулля, а также с минимальным числом образующих его максимального идеала (регулярные локальные кольца являются областями целостности с однозначным разложением на простые множители, они остаются регулярными при локализациях по простым идеалам). Лит.: [1] Картан А., Эйленберг С., Гомологическая алгебра, пер. с англ., М., 1960; [2] Оsofsky В. L., Homological dimensions ol modules, Providence, 1973. В. Е. Говоров, А. В. Михалев.