Голувева — Привалова Теорема

Если f(z) — комплексная суммируемая функция на замкнутой спрямляемой жордановой кривой L, расположенной в плоскости комплексного переменного z, то для существования регулярной во внутренней области D, ограниченной кривой L, функции F(z), угловые граничные значения к-рой совпадают с f(z) почти всюду на L, необходимо и достаточно, чтобы . Эти условия наз. условиями Голубева- Привалова. В. В. Голубевым [1] доказана их достаточность, а И. И. Приваловым [2] — необходимость. Иначе говоря, условия (1) необходимы и достаточны для того, чтобы интеграл типа Коши — Лебега (см. Коши интеграл) F(z), построенный для функции и кривой L: обращался в интеграл Коши — Лебега. В более общей постановке, пусть m, — комплексная борелевская мера на L. Тогда, для того чтобы интеграл типа Коши — Стилтьеса обращался в интеграл Коши — Стилтьеса, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись обобщенные условия Голубева- Привалова Иначе говоря, условия (2) необходимы и достаточны для существования регулярной в Dфункции F(z).такой, что ее угловые граничные значения почти всюду по мере Лебега на Lсовпадают с где — угол между положительным направлением оси абсцисс и касательной к L в точке — производная меры m по мере Лебега s (длина дуги) на L. , Г.- П. т. имеет важное значение в теории граничных свойств аналитических функций. Лит.:[1] Голубев В. В., Однозначные аналитические функции с совершенным множеством особых точек, М., 1916 (см. также его кн.: Однозначные аналитические функции. Авто-морфные функции, М., 1961); [2] Привалов И. И., Интеграл Cauchy, Саратов, 1918; [3] его же, Граничные свойства аналитических функций, 2 изд., М.-Л., 1950. Е. Д. Соломенцев.