Голоморфная Форма

Степени рна комплексном многообразии М — дифференциальная форма типа , удовлетворяющая условию , т. е. форма, к-рая в локальных координатах на Мзаписывается в виде где — голоморфные функции. Г. ф. степени робразуют векторное пространство (М). над полем ; — это пространство голоморфных функций на М. На компактном кэлеровом многообразии М пространство совпадает с пространством гармонических форм типа ( р,0), откуда следует, что есть первое число Бетти многообразия [1]. Г. ф. на римановой поверхности Мназ. также дифференциалами первого рода; если поверхность Мкомпактна, то равна ее роду. Пространства образуют локально точный комплекс относительно оператора d, наз. голоморф н. Определение Г. ф. можно распространить также на комплексные аналитич. ространства. Достаточно сделать это для локальных моделей, т. е. в случае, когда пространство Xявляется аналитич. одпространством в области . Пучок ростков голоморфных р-форм на Копределяется как где — пучок ростков голоморфных р-форм в G, а состоит из ростков форм вида где — пучок идеалов, задающий X. Определяется также голоморфный комплекс де Рама пространства X, к-рый, однако, не является локально точным. Для того чтобы этот комплекс был локально точен в точке , начиная с k-й степени, достаточно, чтобы Xв окрестности точки хдопускало голоморфное стягивание на локальное аналитич. множество , для к-рого (см. [3]). Лит.:[1] Чшэнь Шэн-шэнь, Комплексные многообразия, пер. с англ.,М., 1961; [2] Ганнинг Р., Росси X., Аналитические функции многих комплексных переменных, пер. с англ., М., 1969; [3] Rеiffen H.-J., "Math Z.", 1967, Bd 101, H. 4, S. 269-84; [4] Уэллс Р., Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях, пер. с англ., М.. 1976. А. Л. Онищик.