Главный Фактор

Полугруппы — всякая факторполугруппа Риса (см. Полугруппа )вида , где — двусторонний главный идеал данной полугруппы, порожденный элементом х, а где есть -класс (см. Грина отношения эквивалентности), содержащий х;если множество не пусто, то оно является идеалом, а в случае, когда , считается . Г. ф. полугруппы наз. также идеальным фактором. Произвольный Г. ф. полугруппы есть либо полугруппа с нулевым умножением, либо 0-простая полугруппа, либо идеально простая полугруппа (см. Простая полугруппа);последнее имеет место тогда и только тогда, когда полугруппа обладает ядром и данный Г. ф. совпадает с ядром. Полугруппа, не имеющая Г. ф. с нулевым умножением, наз. полупростой; полупростота полугруппы эквивалентна, напр., тому, что для любого ее двустороннего идеала Авыполняется равенство А 2=А. Всякая регулярная полугруппа полупроста. Если каждый Г. ф. полугруппы либо вполне 0-прост, либо вполне прост (см. Вполне простая полугруппа), то полугруппа наз. вполне полупросто п. Полугруппа вполне полупроста тогда и только тогда, когда она регулярна и удовлетворяет любому из следующих двойственных другдругу условий: для каждого -класса частично упорядоченное множество содержащихся в нем -классов (соответственно -классов) обладает минимальным элементом; при этом . Произвольная полугруппа как бы собрана из своих Г. ф., это объясняет, в частности, особую роль, к-рую играют в теории полугрупп идеально простые и 0-простые полугруппы. Лит.: [1] Ляпин Е. С., Полугруппы, М., 1960; [2] Клиффорд А., Престон Г., Алгебраическая теория полугрупп, пер. с англ., тт. 1-2, М., 1972. Л. Н. Шеврин.